今日の板書はこれ！
区間 \(a\leq x\leq b\) での関数の最大・最小は、増減表から判断する。
候補は極値と定義域の端の値。すべて比べて一番大きい・小さいものを選ぶ。
関数 \(y=-x^3+3x^2\)（\(-1\leq x\leq 4\)）の最大値と最小値を求めよ。
▼ 解答
\(y’=-3x^2+6x=-3x(x-2)\)。\(y’=0\) とすると \(x=0,\ 2\)。
候補の値は \(x=-1\) で \(y=4\)、\(x=0\) で \(y=0\)、\(x=2\) で \(y=4\)、\(x=4\) で \(y=-16\)。
よって \(x=-1,\ 2\) で最大値 \(4\)、\(x=4\) で最小値 \(-16\)
もっと詳しく願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。
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関数の最大・最小の考え方
前回までは極大・極小（山と谷）を求めたね。今回は「決められた区間の中で一番高いところ（最大値）と一番低いところ（最小値）」を求めるよ。
極大値が最大値じゃないんですか？
そこが落とし穴！区間の端っこの方が高い（低い）こともあるんだ。だから極値だけでなく、定義域の端の値も候補に入れて全部を比べる必要があるよ。
求める手順
ステップ1：\(y’\) を計算し、\(y’=0\) となる \(x\) を求める。
ステップ2：定義域の端も入れて増減表をかく。
ステップ3：極値と端の値を全部くらべ、一番大きいものが最大値、一番小さいものが最小値。
増減表では、定義域の端では \(y’\) の符号らんをあけておくのがコツ。端では増減の向きだけを意識すればいいよ。
例題：区間つき3次関数の最大・最小
関数 \(y=-x^3+3x^2\)（\(-1\leq x\leq 4\)）の最大値と最小値を求めよ。
考え方
まずは区間を気にせず \(y’\) を求めて、山と谷（極値）の場所を探そう。そのあと定義域 \(-1\leq x\leq 4\) の端の値も調べて、まとめて増減表にするよ。
解いてみよう
\(y’=-3x^2+6x=-3x(x-2)\)。
\(y’=0\) とすると \(x=0,\ 2\)。
定義域 \(-1\leq x\leq 4\) の両端 \(x=-1,\ 4\) も入れて増減表をかく。
増減表では 定義域の端（\(x=-1,\ 4\)）の \(y’\) はあけておく（端では増減の向きだけを考えればよい）。
各点の値は \(x=-1\) で \(y=4\)、\(x=0\) で \(y=0\)（極小）、\(x=2\) で \(y=4\)（極大）、\(x=4\) で \(y=-16\)。
これらを比べて、\(x=-1,\ 2\) で最大値 \(4\)、\(x=4\) で最小値 \(-16\)。
最大値の \(4\) が2か所（\(x=-1\) と \(x=2\)）でとれるんですね！
その通り。最大値・最小値は「値」なので、同じ値を複数の \(x\) でとることもあるよ。
練習問題
同じ手順で解けるか、練習してみよう！折りたたみを開くと答えが出るよ。
\(a\) を \(3\) より小さい定数とする。関数 \(y=-x^3+3x^2\) について、定義域が \(a\leq x\leq 3\) であるとき、関数が定義域の左端で最大値をとるような定数 \(a\) の値を、正の数・負の数でそれぞれ1つずつあげよ。
答えを見る
\(y’=-3x(x-2)\) より、\(x=0\) で極小 \(0\)、\(x=2\) で極大 \(4\)。また \(x=3\) で \(y=0\)。
「左端 \(x=a\) で最大」とは、左端の値 \(y(a)\) が区間 \(a\leq x\leq 3\) の中で一番大きいということ。
正の数：\(2\leq a<3\) なら区間内で \(y\) は減り続けるので、左端が最大になる。例えば \(a=2\)。
負の数：\(a\) が小さいほど左端の値 \(y(a)=-a^3+3a^2\) は大きくなる。極大値 \(4\) 以上、つまり \(a\leq -1\) で左端が最大。例えば \(a=-2\)（このとき \(y(-2)=20\)）。
次の関数の最大値と最小値を求めよ。
(1) \(y=x^3+3x^2\)（\(-3\leq x\leq 2\)）
(2) \(y=-x^3+x^2+x\)（\(0\leq x\leq 2\)）
(3) \(y=x^4-2x^3+3\)（\(-1\leq x\leq 2\)）
答えを見る
(1) \(y’=3x^2+6x=3x(x+2)\)。\(y’=0\) より \(x=-2,\ 0\)。
| \(x\) | \(-3\) | \(\cdots\) | \(-2\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(2\) |
| \(y’\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(y\) | \(0\) | ↗ | 極大 \(4\) | ↘ | 極小 \(0\) | ↗ | \(20\) |
最大値 \(20\)（\(x=2\)）、最小値 \(0\)（\(x=-3,\ 0\)）。
(2) \(y’=-3x^2+2x+1=-(3x+1)(x-1)\)。\(y’=0\) より \(x=1\)（\(x=-\frac{1}{3}\) は範囲外）。
| \(x\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) | \(2\) |
| \(y’\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(y\) | \(0\) | ↗ | 極大 \(1\) | ↘ | \(-2\) |
最大値 \(1\)（\(x=1\)）、最小値 \(-2\)（\(x=2\)）。
(3) \(y’=4x^3-6x^2=2x^2(2x-3)\)。\(y’=0\) より \(x=0,\ \frac{3}{2}\)（\(x=0\) では符号が変わらず極値でない）。
| \(x\) | \(-1\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(\frac{3}{2}\) | \(\cdots\) | \(2\) |
| \(y’\) | \(-\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(y\) | \(6\) | ↘ | \(3\) | ↘ | 極小 \(\frac{21}{16}\) | ↗ | \(3\) |
最大値 \(6\)（\(x=-1\)）、最小値 \(\frac{21}{16}\)（\(x=\frac{3}{2}\)）。
1辺の長さが 12 cm の正方形の厚紙の四隅から、合同な正方形を切り取り、残りでふたのない直方体の箱を作る。切り取る正方形の1辺を \(x\) cm、箱の容積を \(y\) cm³ とする。
(1) \(y\) を \(x\) の関数で表し、\(x\) のとりうる値の範囲を求めよ。
(2) 箱の容積が最大になるのは、切り取る正方形の1辺が何 cm のときか求めよ。
答えを見る
(1) 箱は、底面が1辺 \((12-2x)\) cm の正方形、高さ \(x\) cm。よって
\(y=x(12-2x)^2\)。範囲は \(0<x<6\)。
(2) \(y=4x^3-48x^2+144x\) より \(y’=12x^2-96x+144=12(x-2)(x-6)\)。\(y’=0\) とすると \(x=2,\ 6\)。範囲 \(0<x<6\) では \(x=2\) で極大かつ最大。
| \(x\) | \((0)\) | \(\cdots\) | \(2\) | \(\cdots\) | \((6)\) |
| \(y’\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(y\) | ↗ | 極大 \(128\) | ↘ |
\(x=2\) のとき \(y=2\times 8^2=128\)。
よって 1辺を \(2\) cm にするとき、容積は最大で \(128\) cm³。
底面の直径と高さの和が 18 cm である直円柱について、体積が最大となるのは底面の半径が何 cm のときか求めよ。
答えを見る
底面の半径を \(r\) cm、高さを \(h\) cm とすると、直径は \(2r\) だから \(2r+h=18\)、すなわち \(h=18-2r\)。
体積は \(V=\pi r^2 h=\pi r^2(18-2r)=\pi(18r^2-2r^3)\)。範囲は \(0<r<9\)。
\(V’=\pi(36r-6r^2)=6\pi r(6-r)\)。\(V’=0\) とすると \(r=6\)（\(0<r<9\)）。
| \(r\) | \((0)\) | \(\cdots\) | \(6\) | \(\cdots\) | \((9)\) |
| \(V’\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(V\) | ↗ | 極大 \(216\pi\) | ↘ |
\(r=6\) のとき \(h=6\)、\(V=\pi\times 36\times 6=216\pi\)。
よって 底面の半径を \(6\) cm にするとき、体積は最大で \(216\pi\) cm³。
まとめ：関数の最大・最小
さて、今回のまとめだよ！
区間 \(a\leq x\leq b\) での最大・最小は増減表で判断する。
候補は極値と定義域の端の値。すべて比べて一番大きい・小さいものを選ぶ。
文章題（箱・容積など）は、まず \(y\) を \(x\) の式で表し、\(x\) の範囲を求めてから増減を調べる。
また一つ賢くなった！
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