【高校数学Ⅱ】「微分」まとめページ｜定義・公式を分かりやすく完全解説

\(\lim_{x\to a}f(x)=A\)　…… \(x\) を \(a\) に近づけたとき \(f(x)\) が近づく値 \(A\) が極限値である。

途切れていない関数なら \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)、つまり\(x=a\) を代入するだけでよい。

微分では \(h\to0\) の形がよく出てくるので、この計算に慣れておく必要がある。

平均変化率：\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)（2点を結ぶ直線の傾き）

微分係数：\(f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)（平均変化率の \(b\to a\) の極限）

接線の傾き：\(f'(a)\) は点 \((a,\ f(a))\) における接線の傾き

導関数の定義：\(f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

微分係数の定義の \(a\) を \(x\) に置き換えたもの（答えは \(x\) の式＝関数になる）

記号：\(y’\)、\(\frac{dy}{dx}\)、\(\frac{d}{dx}f(x)\)。\(f(x)\) から \(f'(x)\) を求めることを「微分する」という

定数を微分すると 0（\(C’=0\)）

公式[1]　\((x^n)’=nx^{n-1}\)　… 指数を前に下ろして、指数を1減らす

公式[2]　\((C)’=0\)　… 定数を微分すると0

公式[3]　\(\{kf(x)+lg(x)\}’=kf'(x)+lg'(x)\)　… 定数倍・和・差は項ごとに微分

積の形は展開してから微分する。

微分係数は、導関数に \(x\) の値を代入すれば求められる。

接線の方程式　\(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)　… 傾き \(f'(a)\)、点 \((a,\ f(a))\) を通る直線

曲線の外の点から引く接線　… 接点を \((a,\ f(a))\) と文字でおき、通る条件から \(a\) を求める

接線と重解　… 放物線と接線を連立した \(f(x)=g(x)\) は重解をもつ

◉ \(f'(x)>0\) → 増加 / \(f'(x)<0\) → 減少 / \(f'(x)=0\) → 定数

◉ 増加→減少で極大、減少→増加で極小となる（あわせて極値という）。極値 ⇒ \(f'(a)=0\)（逆は不成立）

◉ 増減表… ①\(y’=0\)を解く → ②\(x,\ y’,\ y\)の3段の表 → ③\(y’\)の符号で↗↘、極値は元の関数に代入して求め \(y\) の行に書く

◉ グラフは増減表の↗↘の通りに、極大・極小の点をつないでかく。

\(f(x)\) が \(x=a\) で極値 \(\Rightarrow\) \(f'(a)=0\)（逆は成り立たない）。

①「極値の値」と「\(f'(a)=0\)」を式にして連立し、係数を求める。

②求めた関数で増減表を作り、本当に極値になっているか（十分性）を確認する。

区間 \(a\leq x\leq b\) での最大・最小は増減表で判断する。

候補は極値と定義域の端の値である。すべて比べて一番大きい・小さいものを選ぶ。

文章題（箱・容積など）は、まず \(y\) を \(x\) の式で表し、\(x\) の範囲を求めてから増減を調べる。

方程式 \(f(x)=0\) の実数解の個数は、図的には \(y=f(x)\) のグラフと x 軸の共有点の個数である。

増減表を作って グラフの概形をかき、x 軸との交点を数える。

例：\(x^3-3x-1=0\) は、グラフが x 軸と3回交わるので、実数解は 3個である。

① 定数 \(a\) を右辺に分離して \(f(x)=a\) の形にする。

② 増減表を作り、\(y=f(x)\) のグラフの概形をかく。

③ 直線 \(y=a\) を上下に動かし、共有点の個数＝実数解の個数 を数える。

① 差をとって \(f(x)=\)（左辺）−（右辺） とおく。

② 増減表を作り、考える範囲での \(f(x)\) の最小値を求める。

③ 最小値が 0 以上なら、\(f(x)\geq 0\) が常に成り立つ（最小値が正なら \(f(x)>0\) である）。