【数学Ⅱ】図形と方程式11：三角形の外接円の方程式

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

3点を通る円は一般形でおく

三角形の3つの頂点を通る円を、その三角形の外接円といいます。

3点の座標から円の方程式を求めるときは、基本形ではなく一般形 \(x^2+y^2+lx+my+n=0\) でおくのがポイントです。

一般形なら、点の座標を代入したときに \(l,\ m,\ n\) の1次方程式ができます。

3点を代入すれば、文字3つに対して式が3つそろうので、連立方程式で求められます。

3点を通る円の方程式を求める

円の方程式を \(x^2+y^2+lx+my+n=0\) とおき、3点の座標をそれぞれ代入します。

\((-1,\ 7)\) を通るから　\(1+49-l+7m+n=0\)　より　\(-l+7m+n=-50\)　…①

\((2,\ -2)\) を通るから　\(4+4+2l-2m+n=0\)　より　\(2l-2m+n=-8\)　…②

\((6,\ 0)\) を通るから　\(36+6l+n=0\)　より　\(6l+n=-36\)　…③

連立方程式の大原則は、1文字ずつ消去することです。

③には \(m\) が含まれていないので、まず①と②から \(m\) を消去します。

①×2＋②×7 より　\(12l+9n=-156\)　すなわち　\(4l+3n=-52\)　…④

③より \(n=-6l-36\) です。

これを④に代入すると \(-14l=56\) となるので \(l=-4\)、\(n=-12\) です。

さらに②に代入すると \(m=-6\) が求まります。

よって　\({\color{#EE4656}{x^2+y^2-4x-6y-12=0}}\)

練習問題

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求める円の方程式を \(x^2+y^2+lx+my+n=0\) とおく。

(1)　\(l+m+n=-2,\ 2l+m+n=-5,\ -l+n=-1\)

これを解くと \((l,\ m,\ n)=(-3,\ 5,\ -4)\)　より　\({\color{#EE4656}{x^2+y^2-3x+5y-4=0}}\)

(2)　\(l+3m+n=-10,\ 5l-5m+n=-50,\ 4l+2m+n=-20\)

これを解くと \((l,\ m,\ n)=(-2,\ 4,\ -20)\)　より　\({\color{#EE4656}{x^2+y^2-2x+4y-20=0}}\)

まとめ：三角形の外接円の方程式