今日の板書はこれ！
■ [1] 基本形（傾き m、y切片 n）
\(y=mx+n\)
■ [1]′ 1点 \((x_1,\ y_1)\) を通り、傾き \(m\) の直線
\(y-y_1=m(x-x_1)\)
■ [1]″ 2点 \((x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)\) を通る直線
\(x_1\neq x_2\) のとき \(y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\)
\(x_1=x_2\) のとき \(x=x_1\)
■ [2] 一般形
\(ax+by+c=0\)
■ [3] 切片形（x切片 a、y切片 b）
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
■ 注意
傾きは （yの増加量）÷（xの増加量） である。y軸に平行な直線は傾きが存在しない。
もっと詳しく願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。
「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。
でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。
意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！
勉強してるのに点が取れない人は、こっちも読んでみて！
直線の方程式とは？
座標平面上の図形は、すべて条件を満たす点の集合と考えることができます。
直線の方程式とは、「その直線上にある点 \((x,\ y)\) が必ず満たす関係式」のことです。
たとえば \(y=2x+1\) は、\(x\) 座標を2倍して1をたすと \(y\) 座標になる点を集めたもので、それを並べると1本の直線になります。
傾きと切片で表す（基本形）
中学で学んだように、傾き \({\color{#3CB371}{m}}\)、\(y\) 切片 \(n\) の直線は \(y={\color{#3CB371}{m}}x+n\) と表せます。
傾きとは、\(x\) が1増えたときの \(y\) の増加量のことです。
傾き ＝ （yの増加量）÷（xの増加量）
1点と傾きで決まる直線
点 \((x_1,\ y_1)\) を通り、傾き \({\color{#3CB371}{m}}\) の直線を考えます。
直線上の点を \((x,\ y)\) とすると、2点 \((x_1,\ y_1)\) と \((x,\ y)\) を結ぶと傾きが \(m\) になるはずです。
\(\frac{y-y_1}{x-x_1}={\color{#3CB371}{m}}\)
分母をはらうと、次の式が得られます。
この形なら、\(x=x_1\) のときも成り立ちます。
\(y-y_1={\color{#3CB371}{m}}(x-x_1)\)
通る点の座標を引いて、傾きをかける形だね！
1点と傾きから直線の方程式を求める
点 \((1,\ 2)\) を通り、傾きが \(3\) の直線の方程式を求めよ。
\(x_1={\color{#45A3DA}{1}},\ y_1={\color{#45A3DA}{2}},\ m={\color{#3CB371}{3}}\) を公式に代入します。
\(y-2={\color{#3CB371}{3}}(x-1)\) より \({\color{#EE4656}{y=3x-1}}\)
2点を通る直線の方程式
2点 \((x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)\) を通る直線は、まず2点から傾きを求め、それを先ほどの式に入れれば表せます。
\(x_1\neq x_2\) のとき、傾きは \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) です。
\(y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\)
一方、\(x_1=x_2\) のときは、2点が縦に並んでいるので、直線は \(y\) 軸に平行になります。
このとき \(x\) の増加量が \(0\) となって傾きは存在せず、直線の方程式は \(x=x_1\) です。
縦の直線は、傾きの公式が使えないから別にするんだね！
2点を通る直線の方程式を求める
2点 \((1,\ 3),\ (3,\ 7)\) を通る直線の方程式を求めよ。
まず傾きを求めると \(\frac{7-3}{3-1}={\color{#3CB371}{2}}\) です。
点 \((1,\ 3)\) を通るので、次のようになります。
\(y-3={\color{#3CB371}{2}}(x-1)\) より \({\color{#EE4656}{y=2x+1}}\)
一般形と切片形
どんな直線も、\(x,\ y\) の1次方程式 \(ax+by+c=0\) の形で表せます。
これを一般形といいます。
一般形は「縦の直線」も含めて、すべての直線を1つの形で表せるのが強みだよ！
また、\(x\) 切片が \(a\)、\(y\) 切片が \(b\) の直線は \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) と表せます。
これを切片形といいます。
切片から直線の方程式を求める
\(x\) 切片が \(3\)、\(y\) 切片が \(-2\) の直線の方程式を求めよ。
切片形 \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) に、\(a={\color{#45A3DA}{3}},\ b={\color{#E9548E}{-2}}\) を代入します。
\(\frac{x}{{\color{#45A3DA}{3}}}+\frac{y}{{\color{#E9548E}{-2}}}=1\)
両辺に \(6\) をかけて分母をはらうと、次のようになります。
\(2x-3y=6\) より \({\color{#EE4656}{2x-3y-6=0}}\)
練習問題
次の方程式の表す直線を座標平面上にかけ。
(1) \(3x-y+1=0\)
(2) \(y+1=0\)
(3) \(x-2=0\)
答えを見る
(1) \(y=3x+1\) より、傾き \(3\)、\(y\) 切片 \(1\) の直線
(2) \(y=-1\) より、点 \((0,\ -1)\) を通り \(x\) 軸に平行な直線
(3) \(x=2\) より、点 \((2,\ 0)\) を通り \(y\) 軸に平行な直線
次のような直線の方程式を求めよ。
(1) 点 \((2,\ -4)\) を通り、傾きが \(3\) の直線
(2) 点 \((-3,\ 1)\) を通り、傾きが \(-2\) の直線
答えを見る
(1) \(y+4=3(x-2)\) より \({\color{#EE4656}{y=3x-10}}\)
(2) \(y-1=-2(x+3)\) より \({\color{#EE4656}{y=-2x-5}}\)
次の2点を通る直線の方程式を求めよ。
(1) \((3,\ 2),\ (5,\ 6)\)
(2) \((-1,\ 4),\ (2,\ -2)\)
(3) \((2,\ -1),\ (1,\ -1)\)
(4) \((3,\ -1),\ (3,\ 4)\)
答えを見る
(1) 傾きは \(\frac{6-2}{5-3}=2\) \(y-2=2(x-3)\) より \({\color{#EE4656}{y=2x-4}}\)
(2) 傾きは \(\frac{-2-4}{2-(-1)}=-2\) \(y-4=-2(x+1)\) より \({\color{#EE4656}{y=-2x+2}}\)
(3) 傾きは \(\frac{-1-(-1)}{1-2}=0\) より \({\color{#EE4656}{y=-1}}\)
(4) \(x\) 座標が等しいので \({\color{#EE4656}{x=3}}\)
まとめ：直線の方程式
さて、今回のまとめだよ！
■ [1] 基本形（傾き m、y切片 n）
\(y=mx+n\)
■ [1]′ 1点 \((x_1,\ y_1)\) を通り、傾き \(m\) の直線
\(y-y_1=m(x-x_1)\)
■ [1]″ 2点 \((x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)\) を通る直線
\(x_1\neq x_2\) のとき \(y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\)
\(x_1=x_2\) のとき \(x=x_1\)
■ [2] 一般形
\(ax+by+c=0\)
■ [3] 切片形（x切片 a、y切片 b）
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
■ 注意
傾きは （yの増加量）÷（xの増加量） である。y軸に平行な直線は傾きが存在しない。
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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