今日の板書はこれ！
■ 割り算の等式
整式 \(P(x)\) を1次式 \({\color{#3CB371}{ax-b}}\) で割ったときの商を \(Q(x)\)、余りを \({\color{#EE4656}{R}}\) とすると
\(P(x)=({\color{#3CB371}{ax-b}})Q(x)+{\color{#EE4656}{R}}\)
1次式で割ったときの余りは必ず定数である。
■ 剰余の定理
整式 \(P(x)\) を1次式 \(ax-b\) で割ったときの余りは \(P\left(\frac{b}{a}\right)\) である。
\(P\left({\color{#45A3DA}{\frac{b}{a}}}\right)={\color{#EE4656}{R}}\)
■ 因数定理
\(R=0\) のとき、「\(ax-b\) で割り切れる」、つまり「\(P(x)\) が \(ax-b\) を因数にもつ」と言いかえられる。
\(P(x)\) が \({\color{#3CB371}{ax-b}}\) を因数にもつ \(\Leftrightarrow\ P\left({\color{#45A3DA}{\frac{b}{a}}}\right)=0\)
■ 注意
因数を探すときは、\(x=1,\ -1,\ 2,\ -2,\ \cdots\) と順に代入する。
\(P(x)=x^3+2x^2+x+5\) を \(x+2\) で割った余りを求めよ。
▼ 解答
\(P({\color{#45A3DA}{-2}})=(-2)^3+2\cdot(-2)^2+(-2)+5={\color{#EE4656}{3}}\)
よって、余りは \({\color{#EE4656}{3}}\)
\(P(x)=2x^3-5x^2+x+2\) の因数を1つ求めよ。
▼ 解答
\(P({\color{#45A3DA}{2}})=2\cdot2^3-5\cdot2^2+2+2=0\)
よって、\({\color{#3CB371}{x-2}}\) を因数にもつ。
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剰余の定理
割り算の等式
まず数字で見てみましょう。
\(x^2+3x+5\) を \(x-1\) で割ると、商は \(x+4\)、余りは \(9\) になります。
これを等式で表すと次のようになります。
\(x^2+3x+5=({\color{#3CB371}{x-1}})(x+4)+{\color{#EE4656}{9}}\)
この等式の両辺に、\({\color{#3CB371}{x-1}}=0\) となる \(x={\color{#45A3DA}{1}}\) を代入すると、右辺の \((x-1)(x+4)\) が \(0\) になって消えます。
左辺は \(1+3+5=9\) となり、余り \({\color{#EE4656}{9}}\) がそのまま出てきます。
商の部分を 0 にして消してしまえば、余りだけが残るんだ！
これを文字で表すため、整式 \(P(x)\) を1次式 \({\color{#3CB371}{ax-b}}\) で割ったときの商を \(Q(x)\) とします。
1次式で割ったときの余りは必ず定数なので、これを \({\color{#EE4656}{R}}\) とすると次の等式が成り立ちます。
\(P(x)=({\color{#3CB371}{ax-b}})Q(x)+{\color{#EE4656}{R}}\)
さっきの数字の式と同じ形だね！
\(Q(x)\) が消えるように、\({\color{#3CB371}{ax-b}}=0\) となる \(x={\color{#45A3DA}{\frac{b}{a}}}\) を代入すると、余り \({\color{#EE4656}{R}}\) が求まります。
これを剰余の定理といいます。
\(P\left({\color{#45A3DA}{\frac{b}{a}}}\right)={\color{#EE4656}{R}}\)
剰余の定理で余りを求める
\(P(x)=x^3+2x^2+x+5\) を \(x+2\) で割った余りを求めよ。
\({\color{#3CB371}{x+2}}=0\) となるのは \(x={\color{#45A3DA}{-2}}\) なので、\(P(-2)\) を計算します。
\(P({\color{#45A3DA}{-2}})=(-2)^3+2\cdot(-2)^2+(-2)+5=-8+8-2+5={\color{#EE4656}{3}}\)
よって、余りは \({\color{#EE4656}{3}}\) です。
割り算をしなくても、代入するだけで余りが求まりました。
因数定理
余り \(R\) が \(0\) のときは、\(P(x)=({\color{#3CB371}{ax-b}})Q(x)\) となります。
「\(ax-b\) で割った余りが \(0\)」とは「\(ax-b\) で割り切れる」ことであり、「\(P(x)\) が \(ax-b\) を因数にもつ」と言いかえることができます。
これを因数定理といいます。
\(P(x)\) が \({\color{#3CB371}{ax-b}}\) を因数にもつ \(\Leftrightarrow\ P\left({\color{#45A3DA}{\frac{b}{a}}}\right)=0\)
因数定理で因数を見つける
\(P(x)=2x^3-5x^2+x+2\) の因数を1つ求めよ。
\(P(x)=0\) となる \(x\) の値を探すために、\(x=1,\ -1,\ 2,\ -2,\ \cdots\) と順に代入していきます。
\(P(1)=2-5+1+2=0\) なので、実は \(x=1\) でも見つかります。
ここでは \(x=2\) を代入してみましょう。
\(P({\color{#45A3DA}{2}})=2\cdot2^3-5\cdot2^2+2+2=16-20+4=0\)
\(P(2)=0\) なので、因数定理より \(P(x)\) は \({\color{#3CB371}{x-2}}\) を因数にもちます。
代入して 0 になる値を見つければ、因数が分かるんだね！
（\(x-1\) も答えになります。）
練習問題
\(P(x)=x^3+x^2-3x-2\) を次の1次式で割った余りを求めよ。
(1) \(x-1\) (2) \(x+1\) (3) \(x+2\)
答えを見る
(1) \(P(1)=1+1-3-2={\color{#EE4656}{-3}}\)
(2) \(P(-1)=-1+1+3-2={\color{#EE4656}{1}}\)
(3) \(P(-2)=-8+4+6-2={\color{#EE4656}{0}}\)
多項式 \(P(x)=2x^3+5ax^2+ax+1\) を \(x+1\) で割った余りが \(-5\) であるとき、定数 \(a\) の値を求めよ。
答えを見る
剰余の定理より \(P(-1)=-5\)
\(P(-1)=-2+5a-a+1=4a-1\) であるから \(4a-1=-5\)
よって \({\color{#EE4656}{a=-1}}\)
次の1次式のうち、多項式 \(x^3+2x^2-5x-6\) の因数であるものはどれか。
① \(x-1\) ② \(x+1\) ③ \(x-2\) ④ \(x+2\)
答えを見る
\(P(x)=x^3+2x^2-5x-6\) とおく。
\(P(1)=-8\) \(P(-1)=0\) \(P(2)=0\) \(P(-2)=4\)
よって、因数であるものは ②、③
まとめ：剰余の定理と因数定理
さて、今回のまとめだよ！
■ 割り算の等式
整式 \(P(x)\) を1次式 \({\color{#3CB371}{ax-b}}\) で割ったときの商を \(Q(x)\)、余りを \({\color{#EE4656}{R}}\) とすると
\(P(x)=({\color{#3CB371}{ax-b}})Q(x)+{\color{#EE4656}{R}}\)
1次式で割ったときの余りは必ず定数である。
■ 剰余の定理
整式 \(P(x)\) を1次式 \(ax-b\) で割ったときの余りは \(P\left(\frac{b}{a}\right)\) である。
\(P\left({\color{#45A3DA}{\frac{b}{a}}}\right)={\color{#EE4656}{R}}\)
■ 因数定理
\(R=0\) のとき、「\(ax-b\) で割り切れる」、つまり「\(P(x)\) が \(ax-b\) を因数にもつ」と言いかえられる。
\(P(x)\) が \({\color{#3CB371}{ax-b}}\) を因数にもつ \(\Leftrightarrow\ P\left({\color{#45A3DA}{\frac{b}{a}}}\right)=0\)
■ 注意
因数を探すときは、\(x=1,\ -1,\ 2,\ -2,\ \cdots\) と順に代入する。
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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