今日の板書はこれ！
■ 点 \((x_1,\ y_1)\) と直線 \(ax+by+c=0\) の距離 \(d\)
\(d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
■ 覚え方
分母は直線の x, y の係数の2乗和のルート、分子は直線の式に点の座標を代入して絶対値をとったもの。
点 \((1,\ -2)\) と直線 \(3x+4y+4=0\) の距離を求めよ。
▼ 解答
\(\frac{|3\cdot1+4\cdot(-2)+4|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|-1|}{5}={\color{#EE4656}{\frac{1}{5}}}\)
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点と直線の距離とは？
点 \(\mathrm{P}\) と直線 \(\ell\) の距離とは、\(\mathrm{P}\) から \(\ell\) に垂線 \(\mathrm{PH}\) を下ろしたときの長さ \(\mathrm{PH}\) のことです。
直線上の点のうち、\(\mathrm{P}\) に最も近い点までの長さともいえます。
この距離は、次の公式で求められます。
\(d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
分母は、直線の \(x,\ y\) の係数 \(a,\ b\) の2乗和のルートです。
分子は、直線の式の左辺 \(ax+by+c\) に、点の座標を代入して絶対値をとったものです。
直線の式は必ず「＝0」の一般形にしてから使おう！
まず、原点 \(\mathrm{O}\) と直線 \(ax+by+c=0\) の距離を考えます。\(\mathrm{O}\) から直線に下ろした垂線は、直線 \(bx-ay=0\) 上にあるので、垂線の足 \(\mathrm{H}\) は \((ka,\ kb)\) と表せます。
\(\mathrm{H}\) は直線上にあるので \(k(a^2+b^2)+c=0\)、つまり \(k=-\frac{c}{a^2+b^2}\) です。
よって \(\mathrm{OH}=|k|\sqrt{a^2+b^2}=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) となります。
点 \((x_1,\ y_1)\) が原点に来るように全体を平行移動すると、直線は \(a(x+x_1)+b(y+y_1)+c=0\) となり、定数項が \(ax_1+by_1+c\) に変わります。これを上の式の \(c\) に入れると、公式が得られます。
点と直線の距離を求める
点 \((1,\ -2)\) と直線 \(3x+4y+4=0\) の距離を求めよ。
直線はすでに一般形なので、\(a=3,\ b=4,\ c=4\) です。
点 \((1,\ -2)\) を直線の式の左辺に代入して、公式にあてはめます。
\(\frac{|3\cdot1+4\cdot(-2)+4|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|-1|}{5}={\color{#EE4656}{\frac{1}{5}}}\)
分子の絶対値を忘れずにつければ、あとは代入するだけだね！
練習問題
次の点と直線の距離を求めよ。
(1) 原点、\(3x-4y+10=0\)
(2) 点 \((2,\ 1)\)、\(y=2x+2\)
答えを見る
(1) \(\frac{|3\cdot0-4\cdot0+10|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{10}{5}={\color{#EE4656}{2}}\)
(2) 直線は \(2x-y+2=0\) となるから \(\frac{|2\cdot2-1+2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}={\color{#EE4656}{\sqrt{5}}}\)
まとめ：点と直線の距離の公式
さて、今回のまとめだよ！
■ 点 \((x_1,\ y_1)\) と直線 \(ax+by+c=0\) の距離 \(d\)
\(d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
■ 覚え方
分母は直線の x, y の係数の2乗和のルート、分子は直線の式に点の座標を代入して絶対値をとったもの。
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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