今日の板書はこれ！
■ 2数を解とする2次方程式
2数 \(\alpha,\ \beta\) を解とする2次方程式の1つは
\(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\)
つまり、和 \(\alpha+\beta\) と 積 \(\alpha\beta\) を用いて、2数 \(\alpha,\ \beta\) を解にもつ2次方程式が作成できる。
■ 和と積が与えられた2数
和が \(p\)、積が \(q\) である2数は、2次方程式 \(x^2-px+q=0\) の2つの解である。
2数 \(\frac{3+\sqrt{7}\,i}{2},\ \frac{3-\sqrt{7}\,i}{2}\) を解とする2次方程式を作れ。
▼ 解答
和 \({\color{#EE4656}{\frac{3+\sqrt{7}\,i}{2}+\frac{3-\sqrt{7}\,i}{2}=3}}\)
積 \({\color{#45A3DA}{\frac{3+\sqrt{7}\,i}{2}\times\frac{3-\sqrt{7}\,i}{2}=\frac{9+7}{4}=4}}\)
よって \(x^2-{\color{#EE4656}{3}}x+{\color{#45A3DA}{4}}=0\)
2次方程式 \(x^2+2x+4=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、2数 \(\alpha-1,\ \beta-1\) を解とする2次方程式を作れ。
▼ 解答
解と係数の関係より \(\alpha+\beta=-2\) \(\alpha\beta=4\)
和 \({\color{#EE4656}{(\alpha-1)+(\beta-1)=(\alpha+\beta)-2=-4}}\)
積 \({\color{#45A3DA}{(\alpha-1)(\beta-1)=\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1=7}}\)
よって求める2次方程式は \(x^2+{\color{#EE4656}{4}}x+{\color{#45A3DA}{7}}=0\)
和が \(-2\)、積が \(6\) となる2数を求めよ。
▼ 解答
求める2数は、2次方程式 \(x^2+{\color{#EE4656}{2}}x+{\color{#45A3DA}{6}}=0\) の解である。
\(x=-1\pm\sqrt{1-6}=-1\pm\sqrt{5}\,i\)
よって求める2数は \(-1+\sqrt{5}\,i,\ -1-\sqrt{5}\,i\)
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2数を解とする2次方程式の作り方
たとえば、\(2\) と \(5\) を解にもつ2次方程式を作るには、\((x-2)(x-5)=0\) とすればよいです。
これを展開すると \(x^2-7x+10=0\) となり、\(x\) の係数 \(-7\) は \(2\) と \(5\) の和 \({\color{#EE4656}{2+5=7}}\) の符号を変えたもの、定数項 \(10\) は \(2\) と \(5\) の積 \({\color{#45A3DA}{2\times5=10}}\) です。
2数を文字 \(\alpha,\ \beta\) で表すと、それらを解にもつ2次方程式の1つは \((x-\alpha)(x-\beta)=0\) であり、これを展開すると次の形になります。
\(x^2-({\color{#EE4656}{\alpha+\beta}})x+{\color{#45A3DA}{\alpha\beta}}=0\)
「x² − 和 x ＋ 積 ＝ 0」と覚えておこう！
2数を解とする2次方程式を作る
2数 \(\frac{3+\sqrt{7}\,i}{2},\ \frac{3-\sqrt{7}\,i}{2}\) を解とする2次方程式を作れ。
2数をそのまま \((x-\alpha)(x-\beta)=0\) に入れて展開すると大変なので、先に和と積を求めます。
2数は互いに共役な複素数なので、和も積も実数になります。
和 \({\color{#EE4656}{\frac{3+\sqrt{7}\,i}{2}+\frac{3-\sqrt{7}\,i}{2}=3}}\)
積 \({\color{#45A3DA}{\frac{3+\sqrt{7}\,i}{2}\times\frac{3-\sqrt{7}\,i}{2}=\frac{9+7}{4}=4}}\)
よって、求める2次方程式は \(x^2-{\color{#EE4656}{3}}x+{\color{#45A3DA}{4}}=0\) です。
α−1, β−1を解とする2次方程式を作る
2次方程式 \(x^2+2x+4=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、2数 \(\alpha-1,\ \beta-1\) を解とする2次方程式を作れ。
\(\alpha,\ \beta\) そのものは求めずに、解と係数の関係から \(\alpha+\beta=-2\)、\(\alpha\beta=4\) を使います。
新しい2数 \(\alpha-1,\ \beta-1\) の和と積を、\(\alpha+\beta\) と \(\alpha\beta\) で表します。
和 \({\color{#EE4656}{(\alpha-1)+(\beta-1)=(\alpha+\beta)-2=-4}}\)
積 \({\color{#45A3DA}{(\alpha-1)(\beta-1)=\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1=4+2+1=7}}\)
よって、求める2次方程式は \(x^2+{\color{#EE4656}{4}}x+{\color{#45A3DA}{7}}=0\) です。
和と積から2数を求める
和が \(-2\)、積が \(6\) となる2数を求めよ。
和が \({\color{#EE4656}{-2}}\)、積が \({\color{#45A3DA}{6}}\) である2数は、2次方程式 \(x^2-(-2)x+6=0\)、つまり \(x^2+2x+6=0\) の2つの解です。
和と積が与えられたら、2次方程式を作って解けばよいのです。
\(x=-1\pm\sqrt{1-6}=-1\pm\sqrt{5}\,i\)
よって、求める2数は \(-1+\sqrt{5}\,i,\ -1-\sqrt{5}\,i\) です。
和と積が分かれば、2次方程式を作れるし、逆に2数も求められるんだね！
練習問題
次の2数を解とする2次方程式を作れ。
(1) \(2,\ -1\) (2) \(\frac{-1+\sqrt{5}}{2},\ \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\)
(3) \(1+2i,\ 1-2i\)
答えを見る
(1) 和 \(1\)、積 \(-2\) より \({\color{#EE4656}{x^2-x-2=0}}\)
(2) 和 \(-1\)、積 \(\frac{1-5}{4}=-1\) より \({\color{#EE4656}{x^2+x-1=0}}\)
(3) 和 \(2\)、積 \(1+4=5\) より \({\color{#EE4656}{x^2-2x+5=0}}\)
2次方程式 \(x^2-3x-1=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とするとき、2数 \(\alpha^2,\ \beta^2\) を解とする2次方程式を作れ。
答えを見る
解と係数の関係より \(\alpha+\beta=3\) \(\alpha\beta=-1\)
和 \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=9+2=11\)
積 \(\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=1\)
よって \({\color{#EE4656}{x^2-11x+1=0}}\)
和と積がともに \(3\) となる2数を求めよ。
答えを見る
求める2数は、2次方程式 \(x^2-3x+3=0\) の解である。
\(x=\frac{3\pm\sqrt{9-12}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{3}\,i}{2}\)
よって \({\color{#EE4656}{\frac{3+\sqrt{3}\,i}{2},\ \frac{3-\sqrt{3}\,i}{2}}}\)
まとめ：2数を解とする2次方程式
さて、今回のまとめだよ！
■ 2数を解とする2次方程式
2数 \(\alpha,\ \beta\) を解とする2次方程式の1つは
\(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\)
つまり、和 \(\alpha+\beta\) と 積 \(\alpha\beta\) を用いて、2数 \(\alpha,\ \beta\) を解にもつ2次方程式が作成できる。
■ 和と積が与えられた2数
和が \(p\)、積が \(q\) である2数は、2次方程式 \(x^2-px+q=0\) の2つの解である。
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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