【数学A】図形の性質14：正多面体の双対

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

立方体の面の中心を結ぶと正八面体になる？

双対多面体とは？

ある多面体の各面の中心（重心）を新しい頂点として、となり合う面の中心どうしを結んでできる立体を、もとの多面体の双対多面体といいます。

もとの立体の「面」が新しい立体の「頂点」になるので、頂点と面を入れかえた立体ともいえます。

正多面体の双対多面体は、次のようになります。

• 正四面体の双対は正四面体（自分自身と同じ形）
• 正六面体の双対は正八面体、正八面体の双対は正六面体
• 正十二面体の双対は正二十面体、正二十面体の双対は正十二面体

最初の問題を解こう

立方体ABCD-EFGHで考えます。

頂点Bに集まる3つの面ABCD，ABFE，BCGFの中心をそれぞれP，R，Sとします。

ステップ1：△PRSが正三角形であることを示す

正方形の中心は対角線の中点なので、P，R，Sはそれぞれ線分AC，AF，FCの中点です。

AC，AF，FCはどれも合同な正方形の対角線なので、AC＝AF＝FC です。

つまり、△AFCは正三角形です。

△AFCで中点連結定理を使うと、PR，RS，SPはそれぞれ CF，AC，AF の半分になります。

PR＝RS＝SP

よって、△PRSは正三角形です。

ステップ2：正多面体の条件を確かめる

立方体のほかの頂点についても同じように考えると、新しい立体の8つの面はすべて合同な正三角形になります（立方体の頂点が8つあるからです）。

また、新しい立体の頂点は立方体の面の中心です。

立方体の1つの面には頂点が4つあるので、各頂点に4つの面が集まります。

よって、この立体は正八面体です。

練習問題

答えを見る

正四面体の1辺の長さを \(a\) とする。

立体PQRSTUの面は、切り口の△PQR，△RSU，△PST，△QTUと、もとの面に残る△PTQ，△PRS，△QRU，△STUの8つである。

これらの三角形の辺は、どれも正四面体の面（正三角形）の2辺の中点を結んだ線分であるから、中点連結定理より、長さはすべて \(\frac{1}{2}a\) である。

よって、8つの面はすべて1辺 \(\frac{1}{2}a\) の合同な正三角形である。

また、どの頂点にも4つの面が集まり、立体PQRSTUはへこみのない凸多面体である。

したがって、立体PQRSTUは正八面体である。

まとめ：正多面体の双対