【数学A】図形の性質05：三角形の重心

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

重心Gがあるとき、AGの長さは？

重心とは？

三角形の頂点と、それに向かい合う辺の中点を結ぶ線分を中線といいます。

たとえば、辺BCの中点をDとすると、線分ADが中線です。

三角形には中線が3本ありますが、3本は必ず1点で交わります。

この交点を重心といい、ふつうGで表します。

では、重心にはどんな性質があるのでしょうか。

重心は、どの中線も頂点の側から 2：1 に内分します。

具体的な三角形で、長さを求めてみましょう。

中線ADの長さが9の三角形で、重心をGとします。

AG：GD＝2：1 なので、AGは中線AD全体の \(\frac{2}{3}\)、GDは \(\frac{1}{3}\) です。

\(\mathrm{AG}=9\times\frac{2}{3}=\color{#45A3DA}{6}\)　　\(\mathrm{GD}=9\times\frac{1}{3}=\color{#E9548E}{3}\)

最初の問題を解こう

ADは中線なので、DはBCの中点です。

よって、BDはDCと同じ長さになります。

BD＝DC＝5

次にAGです。

重心Gは中線ADを 2：1 に内分するので、AGはAD全体の \(\frac{2}{3}\) です。

\(\mathrm{AG}=6\times \frac{2}{3}=\color{#EE4656}{4}\)

練習問題

答えを見る

(1) 辺BCの中点をDとすると、Gは中線AD上にあり　AG：GD＝2：1

よって　DG：DA＝1：3

GKとAHはどちらもBCに垂直であるから、GKとAHは平行である。

よって　GK：AH＝DG：DA＝1：3

(2) △GBCと△ABCは底辺BCが共通であるから、面積の比は高さの比に等しい。

よって　△GBC：△ABC＝GK：AH＝1：3

まとめ：三角形の重心