今日の板書はこれ！
■ 円周角の定理
1つの弧に対する円周角の大きさは一定であり、その弧に対する中心角の半分である。
\(\angle\mathrm{APB}=\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOB}\)
■ 円に内接する四角形の性質
① 対角の和は180° である。
② 内角は、その対角の外角に等しい。
■ 四角形が円に内接する条件
次の①〜③のどれかが成り立つ四角形は円に内接する。（4つの頂点は同一円周上にある）
① 1辺を見込む2つの角が等しい（円周角の定理の逆）
② 1組の対角の和が180°
③ 1つの内角が、その対角の外角に等しい
(1) 四角形ABCDの対角線AC，BDの交点をEとする。∠BAC＝65°，∠AEB＝78°，∠ACD＝37° のとき、四角形ABCDが円に内接することを示せ。
(2) AD∥BC である台形ABCDにおいて、頂点A，Dを通る円が2辺AB，CDとそれぞれ点P，Qで交わるとき、四角形PBCQは円に内接する。このことを証明せよ。
▼ 解答
(1) △ABEにおいて ∠ABE＝180°－(65°＋78°)＝37°
よって ∠ABD＝∠ACD＝37°
2点B，Cは直線ADに関して同じ側にあるから、円周角の定理の逆より、四角形ABCDは円に内接する。
(2) 辺BAのAの先に点Eをとる。
四角形APQDは円に内接するから、内角はその対角の外角に等しく ∠PQD＝∠EAD
AD∥BC より、同位角は等しいから ∠EAD＝∠PBC
よって ∠PQD＝∠PBC
∠PQDは四角形PBCQの頂点Qにおける外角であり、対角∠PBCに等しいから、四角形PBCQは円に内接する。
もっと詳しく願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。
「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。
でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。
意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！
勉強してるのに点が取れない人は、こっちも読んでみて！
四角形が円に内接するといえるのはどんなとき？
(1) 右の図において、四角形ABCDが円に内接することを示せ。
(2) AD∥BC である台形ABCDにおいて、頂点A，Dを通る円が2辺AB，CDとそれぞれ点P，Qで交わるとき、四角形PBCQは円に内接する。このことを証明せよ。
円がかかれていないのに、どうやって「円に内接する」って言えるんですか？
円の角の性質を逆向きに使うんだ！順番に見ていこう。
四角形が円に内接することを示すには、円の角の性質を「逆向き」に使います。
この記事では、円周角の定理と円に内接する四角形の性質から、四角形が円に内接する条件を3つ導きます。
条件①：1辺を見込む角が等しい（円周角の定理の逆）
まずは円周角の定理
円周上に2点A，Bをとり、弧ABの上にない円周上の点Pをとります。
このとき、∠APBを弧ABに対する円周角といいます。
また、円の中心Oについて、∠AOBを弧ABに対する中心角といいます。
円周角には、次のような性質があります。
円周角は点Pの位置によらず一定で、中心角のちょうど半分になります。
これを円周角の定理といいます。
円周角の定理の逆
円周角の定理から、「4点が同じ円周上にあれば、同じ弧に対する円周角は等しい」ことが分かりました。
この逆、つまり「角が等しければ、4点は同じ円周上にある」ことも成り立ちます。
直線ABに対して同じ側に2点P，Qをとります。
∠APB＝∠AQB が成り立つとき、4点A，B，P，Qは同じ円周上にあります。
これを円周角の定理の逆といいます。
「同じ側」という条件が大切です。
PとQが直線ABの反対側にあると、角が等しくても同じ円周上にあるとは限りません。
四角形ABCDで考えると、1辺ABを見込む2つの角 ∠ACB と ∠ADB が等しければ、四角形ABCDは円に内接します。これが条件①です。
3点A，B，Pを通る円をかき、Pと同じ側の点Qの位置で角の大きさがどう変わるかを考えます。
Qが円の内側にあると∠AQBは∠APBより大きくなり、円の外側にあると小さくなります。
したがって、∠AQB＝∠APB となるのは、Qがちょうど円周上にあるときだけです。
例題1(1)を解こう
右の図において、四角形ABCDが円に内接することを示せ。
辺ADを共通にもつ2つの角、∠ABDと∠ACDに注目します。
この2つが等しければ、円周角の定理の逆が使えます。
∠ACD＝37° は分かっているので、∠ABDを求めます。
△ABEで、∠BAE＝65°，∠AEB＝78° なので、次のようになります。
∠ABE＝180°－(65°＋78°)＝37°
よって ∠ABD＝∠ACD です。
また、2点B，Cは直線ADに関して同じ側にあります。
したがって、円周角の定理の逆（条件①）より、四角形ABCDは円に内接するといえます。
どの線分を「弦」と見るかを決めて、その両はしを見こむ2つの角をくらべるのがコツだよ！
条件②③：対角と外角（四角形が円に内接する条件）
四角形が円に内接することは、対角や外角を使って示すこともできます。
まずは円に内接する四角形の性質
四角形の4つの頂点が同一円周上にあるとき、その四角形は円に内接するといいます。
つまり、「4つの頂点が同一円周上にある」ことと「四角形が円に内接する」ことは同じ意味です。
円に内接する四角形では、次の2つの性質が成り立ちます。
- 対角の和は180°
- 内角は、その対角の外角に等しい
四角形が円に内接する条件
上で見たように、円に内接する四角形では「対角の和が180°」「内角はその対角の外角に等しい」ことを学びました。
実は、この逆も成り立ちます。
つまり、四角形ABCDで次の②，③のどちらかが成り立てば、その四角形は円に内接します。
- ② 1組の対角の和が180°
- ③ 1つの内角が、その対角の外角に等しい
たとえば、∠A＝100°，∠C＝80° の四角形ABCDは、対角の和が 100°＋80°＝180° なので、円に内接します。
3点A，B，Dを通る円をかき、点Cがこの円に対してどこにあるかを考えます。
Cが円周上にあれば、円に内接する四角形の性質から ∠A＋∠C＝180° です。
Cが円の内側にあると∠Cはそれより大きくなり、円の外側にあると小さくなります。
したがって、∠A＋∠C＝180° となるのは、Cがちょうど円周上にあるときだけです。
例題1(2)を解こう
AD∥BC である台形ABCDにおいて、頂点A，Dを通る円が2辺AB，CDとそれぞれ点P，Qで交わるとき、四角形PBCQは円に内接する。このことを証明せよ。
四角形PBCQが円に内接することを示すには、条件③「1つの内角が、その対角の外角に等しい」を使います。
ここでは、Qにおける外角∠PQDと、その対角∠PBCが等しいことを示します。
まず、辺BAのAの先に点Eをとります。
四角形APQDは円に内接しているので、内角∠PQDは、その対角∠PADの外角∠EADに等しくなります。
次に、AD∥BC なので、同位角が等しく ∠EAD＝∠PBC です。
この2つから ∠PQD＝∠PBC が分かります。
証明をまとめると、次のようになります。
辺BAのAの先に点Eをとる。
四角形APQDは円に内接するから、内角はその対角の外角に等しく ∠PQD＝∠EAD
AD∥BC より、同位角は等しいから ∠EAD＝∠PBC
よって ∠PQD＝∠PBC
∠PQDは四角形PBCQの頂点Qにおける外角であり、対角∠PBCに等しいから、四角形PBCQは円に内接する。
円に内接することを示したいときは、対角の和か外角と対角のどちらかに持ちこもう！
3つの条件をまとめると
以上をまとめると、次のようになります。
■ 四角形が円に内接する条件
次の①〜③のどれかが成り立つ四角形は円に内接する。（4つの頂点は同一円周上にある）
① 1辺を見込む2つの角が等しい（円周角の定理の逆）
② 1組の対角の和が180°
③ 1つの内角が、その対角の外角に等しい
練習問題
右の図において、四角形ABCDが円に内接することを示せ。
答えを見る
∠BAC＝110° より ∠EAC＝180°－110°＝70°
△AECにおいて ∠ACE＝180°－(84°＋70°)＝26°
よって ∠ABD＝∠ACD＝26°
2点B，Cは直線ADに関して同じ側にあるから、円周角の定理の逆より、四角形ABCDは円に内接する。
次の四角形ABCDのうち、円に内接するものはどれか。
答えを見る
① ∠A＋∠C＝120°＋70°＝190° であり、180°ではない。
また ∠D＝360°－(120°＋60°＋70°)＝110° より、∠B＋∠D＝170° も180°ではないから、円に内接しない。
② ∠A＋∠C＝90°＋90°＝180° であるから、円に内接する。
③ ∠A＝180°－65°＝115° であり、∠Cの外角115°に等しいから、円に内接する。
よって、円に内接するものは ②，③
△ABCの辺BC，CA，AB上にそれぞれ点D，E，Fをとる。ただし、点D，E，Fは△ABCの頂点とは異なる点とする。3点B，D，Fを通る円と3点C，D，Eを通る円が異なる2点で交わるとき、交点のうちDと異なる点をPとする。このとき、四角形AFPEが円に内接することを証明せよ。
答えを見る
四角形BDPFは円に内接するから、Fにおける外角はその対角に等しく ∠AFP＝∠PDB
四角形CEPDは円に内接するから、Eにおける外角はその対角に等しく ∠AEP＝∠PDC
よって ∠AFP＋∠AEP＝∠PDB＋∠PDC＝180°
四角形AFPEは1組の対角の和が180°であるから、四角形AFPEは円に内接する。
まとめ：円に内接する四角形
さて、今回のまとめだよ！
■ 円周角の定理
1つの弧に対する円周角の大きさは一定であり、その弧に対する中心角の半分である。
\(\angle\mathrm{APB}=\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOB}\)
■ 円に内接する四角形の性質
① 対角の和は180° である。
② 内角は、その対角の外角に等しい。
■ 四角形が円に内接する条件
次の①〜③のどれかが成り立つ四角形は円に内接する。（4つの頂点は同一円周上にある）
① 1辺を見込む2つの角が等しい（円周角の定理の逆）
② 1組の対角の和が180°
③ 1つの内角が、その対角の外角に等しい
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
↑前の記事↑
↑次の記事↑