【数学Ⅰ】集合と命題07：条件の否定

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

「〜でない」をどう言いかえる？

条件の否定とは？

条件 \(p\) に対して、「\(p\) でない」という条件を \(p\) の否定といい、\(\overline{p}\) と書いて「\(p\) バー」と読みます。

たとえば、実数 \(x\) についての条件「\(x\geq 3\)」の否定は「\(x\geq 3\) でない」です。

\(x\geq 3\) でない実数とは、3より小さい実数のことなので、言いかえると「\(x<3\)」になります。

条件「\(x\geq 3\)」の否定　\(\Longleftrightarrow \)　\(x<3\)

境目の \(x=3\) は「\(x\geq 3\)」に入っているので、否定の側には入りません。

このように、否定をとると「=」を含むかどうかも入れかわることに注意しましょう。

集合で見ると

条件 \(p\) を満たすもの全体の集合を \(P\) とします。

\(\overline{p}\) を満たすものは \(P\) に入らないもの全部なので、その集合は全体集合 \(U\) における \(P\) の補集合 \(\overline{P}\) です。

つまり、条件の否定は、集合でいうと補集合にあたります。

「かつ」「または」の否定

次に、「かつ」や「または」でつながった条件の否定を考えます。

たとえば、実数 \(x\) についての条件「\(x>1\) かつ \(x<5\)」は、\(1<x<5\) のことです。

これが成り立たないのは、\(x\) が1以下のときか、5以上のときです。

「\(x>1\) かつ \(x<5\)」の否定　\(\Longleftrightarrow \)　\(x\leq 1\) または \(x\geq 5\)

\(x>1\) と \(x<5\) をそれぞれ否定すると \(x\leq 1\)，\(x\geq 5\) になり、それが「または」でつながっています。

反対に、「\(x<-2\) または \(x>2\)」の否定を考えてみましょう。

これが成り立たないのは、\(x\) が \(-2\) 以上で、しかも2以下のときです。

「\(x<-2\) または \(x>2\)」の否定　\(\Longleftrightarrow \)　\(x\geq -2\) かつ \(x\leq 2\)

今度は、それぞれを否定した条件が「かつ」でつながっています。

まとめると、次のようになります。

これをド・モルガンの法則といいます。

「\(p\) かつ \(q\)」の否定　\(\Longleftrightarrow \)　\(\overline{p}\) または \(\overline{q}\)

「\(p\) または \(q\)」の否定　\(\Longleftrightarrow \)　\(\overline{p}\) かつ \(\overline{q}\)

集合で見ると

条件 \(p\)，\(q\) を満たすもの全体の集合をそれぞれ \(P\)，\(Q\) とすると、「かつ」は共通部分 \(\cap \)、「または」は和集合 \(\cup \) にあたります。

なので、ド・モルガンの法則は集合では次のように表せます。

\(\overline{P\cap Q}=\overline{P}\cup \overline{Q}\)

\(\overline{P\cup Q}=\overline{P}\cap \overline{Q}\)

色を塗った部分が、それぞれの否定を満たす範囲です。

最初の問題を解こう

(1) 実数は、有理数か無理数のどちらかです。

なので、「\(x\) は有理数である」の否定は「\(x\) は有理数でない」、つまり\(x\) は無理数であるとなります。

(2) \(x>0\) でない実数は、0以下の実数です。

よって、否定は　\(x\leq 0\)　です。

境目の \(x=0\) は \(x>0\) に入っていないので、否定の側に入ることに注意しましょう。

(3) ド・モルガンの法則より、それぞれの条件を否定して、「かつ」を「または」に入れかえます。

よって、否定は　\(x\neq 0\) または \(y\neq 0\)　です。

(4) 同じように、それぞれの条件を否定して、「または」を「かつ」に入れかえます。

よって、否定は　\(x\leq 0\) かつ \(y\leq 0\)　です。

(5) 「\(x\)，\(y\) の少なくとも一方は有理数である」は、「\(x\) は有理数である または \(y\) は有理数である」と同じ意味です。

ド・モルガンの法則より、否定は「\(x\) は無理数である かつ \(y\) は無理数である」になります。

よって、否定は　\(x\)，\(y\) はともに無理数である　です。

練習問題

答えを見る

(1) 自然数は偶数か奇数のどちらかである。

よって　\(n\) は奇数である

(2) 「\(n<5\)」の否定は「\(n\geq 5\)」である。

よって　\(n\) は5以上である

答えを見る

(1) それぞれを否定し、「かつ」を「または」に入れかえる。

よって　\(x<0\) または \(y<0\)

(2) それぞれを否定し、「または」を「かつ」に入れかえる。

よって　\(x\neq 0\) かつ \(y\neq 0\)

(3) 「\(x\) は有理数である かつ \(y\) は有理数である」の否定は「\(x\) は無理数である または \(y\) は無理数である」である。

よって　\(x\)，\(y\) の少なくとも一方は無理数である

まとめ：条件の否定