【数学B】確率分布06：二項分布

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

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二項分布とその確率

二項分布とは？

まずは具体例で考えてみましょう。

1個のさいころを3回投げて、1の目が出る回数を \(X\) とします。

1回投げて1の目が出る確率は \(\frac{1}{6}\)、出ない確率は \(\frac{5}{6}\) です。

たとえば \(X=1\) になるのは、3回のうちどの1回で1の目が出るかを選ぶ方法が \({}_3\mathrm{C}_1\) 通りあり、そのそれぞれの確率が \(\color{#3CB371}{\frac{1}{6}}\times\left(\color{#F39800}{\frac{5}{6}}\right)^2\) なので、次のようになります。

\(P(X=1)={}_3\mathrm{C}_1\,\color{#3CB371}{\tfrac{1}{6}}\left(\color{#F39800}{\tfrac{5}{6}}\right)^2=\frac{75}{216}\)

同じように \(X=0,\ 2,\ 3\) の確率も求めると、\(X\) の確率分布は次の表のようになります。

一般に、1回の試行で事象 \(A\) が起こる確率を \(p\)、起こらない確率を \(q=1-p\) とします。

この試行を \(n\) 回くり返すとき、\(A\) がちょうど \(r\) 回起こる確率は次の式で表されます。

\(P(X=r)={}_{\color{#8E44AD}{n}}\mathrm{C}_r\,{\color{#3CB371}{p}}^r\,{\color{#F39800}{q}}^{n-r}\)

このように、\(A\) が起こる回数 \(X\) の確率分布を二項分布といい、\(B(\color{#8E44AD}{n},\ \color{#3CB371}{p})\) で表します。

さいころの例では \(\color{#8E44AD}{n=3}\)、\(\color{#3CB371}{p=\frac{1}{6}}\) なので、\(X\) は \(B\left(3,\ \frac{1}{6}\right)\) に従います。

例題1：二項分布に従う確率を求める

まず、1回の試行で注目する事象の確率と、くり返す回数を読み取ります。

1回投げて6の目が出る確率は \(\frac{1}{6}\)、出ない確率は \(\frac{5}{6}\) で、投げる回数は 4回 です。

したがって、\(X\) は二項分布 \(B\left(4,\ \frac{1}{6}\right)\) に従います。

次に、\(P(X=2)\) は「4回のうち6の目がちょうど2回出る確率」なので、\(\color{#8E44AD}{n=4}\)、\(r=2\) を式に代入します。

二項分布の期待値・分散・標準偏差

公式：E(X)=np、V(X)=npq

さいころを3回投げて1の目が出る回数 \(X\) の期待値は、「投げる回数 × 1回で1の目が出る確率」で求められます。

\(E(X)=\color{#8E44AD}{3}\times\color{#3CB371}{\frac{1}{6}}\color{#EE4656}{=\frac{1}{2}}\)

もう一度、さいころを3回投げて1の目が出る回数 \(X\) の表を見てみましょう。

この表を使って、期待値を定義どおりに計算します。

表から計算しても \(\color{#EE4656}{\frac{1}{2}}\) になり、\(\color{#8E44AD}{3}\times\color{#3CB371}{\frac{1}{6}}\) と一致しました。

3回投げて、1回あたり \(\color{#3CB371}{\frac{1}{6}}\) の割合で1の目が出るので、平均すると \(\color{#EE4656}{\frac{1}{2}}\) 回出るということです。

一般に、\(X\) が二項分布 \(B(n,\ p)\) に従うとき、期待値・分散・標準偏差は次のようになります。

\(E(X)=\color{#8E44AD}{n}\color{#3CB371}{p}\)

\(V(X)=\color{#8E44AD}{n}\color{#3CB371}{p}\color{#F39800}{q}\)

\(\sigma(X)=\sqrt{\color{#8E44AD}{n}\color{#3CB371}{p}\color{#F39800}{q}}\)

例題2：公式で期待値・分散・標準偏差を求める

1回投げて表が出る確率は \(\frac{1}{2}\)、投げる回数は 100回 なので、\(X\) は二項分布 \(B\left(\color{#8E44AD}{100},\ \color{#3CB371}{\frac{1}{2}}\right)\) に従います。

また、表が出ない確率は \(q=\frac{1}{2}\) です。

あとは公式に代入するだけです。

\(E(X)=\color{#8E44AD}{100}\times\color{#3CB371}{\frac{1}{2}}\color{#EE4656}{=50}\)

\(V(X)=100\times\color{#3CB371}{\frac{1}{2}}\times\color{#F39800}{\frac{1}{2}}\color{#EE4656}{=25}\)

\(\sigma(X)=\sqrt{25}\color{#EE4656}{=5}\)

練習問題

答えを見る

2以下の目が出る確率は \(\color{#3CB371}{\frac{2}{6}=\frac{1}{3}}\) であるから、\(X\) は二項分布 \(B\left(\color{#8E44AD}{5},\ \color{#3CB371}{\frac{1}{3}}\right)\) に従う。

(1)

\(\begin{aligned}P(X=2)&={}_5\mathrm{C}_2\left(\color{#3CB371}{\tfrac{1}{3}}\right)^2\left(\color{#F39800}{\tfrac{2}{3}}\right)^3\\[8pt]&=10\times\tfrac{1}{9}\times\tfrac{8}{27}\\[8pt]&\color{#EE4656}{=\tfrac{80}{243}}\end{aligned}\)

(2)

\(P(X=5)={}_{\color{#8E44AD}{5}}\mathrm{C}_5\left(\color{#3CB371}{\tfrac{1}{3}}\right)^5\color{#EE4656}{=\tfrac{1}{243}}\)

(3)

\(P(X=3)={}_5\mathrm{C}_3\left(\tfrac{1}{3}\right)^3\left(\tfrac{2}{3}\right)^2=\tfrac{40}{243}\)

\(P(X=4)={}_5\mathrm{C}_4\left(\tfrac{1}{3}\right)^4\cdot\tfrac{2}{3}=\tfrac{10}{243}\)

よって、

\(\begin{aligned}P(2\leq X\leq 4)&=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)\\[8pt]&=\tfrac{80}{243}+\tfrac{40}{243}+\tfrac{10}{243}\\[8pt]&\color{#EE4656}{=\tfrac{130}{243}}\end{aligned}\)

答えを見る

\(E(X)=\color{#8E44AD}{9}\times\color{#3CB371}{\frac{1}{2}}\color{#EE4656}{=\frac{9}{2}}\)

\(V(X)=9\times\color{#3CB371}{\frac{1}{2}}\times\color{#F39800}{\frac{1}{2}}\color{#EE4656}{=\frac{9}{4}}\)

\(\sigma(X)=\sqrt{\frac{9}{4}}\color{#EE4656}{=\frac{3}{2}}\)

答えを見る

(1)

\(X\) は二項分布 \(B\left(\color{#8E44AD}{90},\ \color{#3CB371}{\frac{1}{3}}\right)\) に従う。

\(E(X)=\color{#8E44AD}{90}\times\color{#3CB371}{\frac{1}{3}}\color{#EE4656}{=30}\)

\(V(X)=90\times\color{#3CB371}{\frac{1}{3}}\times\color{#F39800}{\frac{2}{3}}\color{#EE4656}{=20}\)

\(\sigma(X)=\sqrt{20}\color{#EE4656}{=2\sqrt{5}}\)

(2)

\(X\) は二項分布 \(B\left(\color{#8E44AD}{300},\ \color{#3CB371}{0.02}\right)\) に従う。

\(E(X)=\color{#8E44AD}{300}\times\color{#3CB371}{0.02}\color{#EE4656}{=6}\)

\(V(X)=300\times\color{#3CB371}{0.02}\times\color{#F39800}{0.98}\color{#EE4656}{=5.88}\)

\(\begin{aligned}\sigma(X)&=\sqrt{5.88}=\sqrt{\tfrac{147}{25}}\\[8pt]&\color{#EE4656}{=\tfrac{7\sqrt{3}}{5}}\end{aligned}\)

まとめ：二項分布