今日の板書はこれ！
■ 解の符号
2次方程式の異なる2つの実数解を \(\alpha,\ \beta\)、判別式を \(D\) とすると
- 2解 \(\alpha,\ \beta\) がともに正 \(\Leftrightarrow\ {\color{#3CB371}{D>0}},\ {\color{#EE4656}{\alpha+\beta>0}},\ {\color{#45A3DA}{\alpha\beta>0}}\)
- 2解 \(\alpha,\ \beta\) がともに負 \(\Leftrightarrow\ {\color{#3CB371}{D>0}},\ {\color{#EE4656}{\alpha+\beta<0}},\ {\color{#45A3DA}{\alpha\beta>0}}\)
- 2解 \(\alpha,\ \beta\) が異符号 \(\Leftrightarrow\ {\color{#45A3DA}{\alpha\beta<0}}\)
■ 注意
\(\alpha,\ \beta\) が実数解であることが前提なので、\(D>0\) が必要である。
2次方程式 \(x^2-ax+a^2-3a=0\) が、異なる2つの正の解をもつような定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。
▼ 解答
2つの解を \(\alpha,\ \beta\)、判別式を \(D\) とする。
解と係数の関係より \(\alpha+\beta=a\) \(\alpha\beta=a^2-3a\)
[1] \({\color{#3CB371}{D=(-a)^2-4(a^2-3a)=-3a^2+12a>0}}\) より \(0<a<4\)
[2] \({\color{#EE4656}{\alpha+\beta=a>0}}\)
[3] \({\color{#45A3DA}{\alpha\beta=a(a-3)>0}}\) より \(a<0,\ 3<a\)
[1]、[2]、[3] より \({\color{#EE4656}{3<a<4}}\)
もっと詳しく願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。
「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。
でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。
意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！
勉強してるのに点が取れない人は、こっちも読んでみて！
2つの解の符号を和と積で調べる
2つの実数 \(\alpha,\ \beta\) がともに正であるかどうかは、和と積で判断できます。
たとえば \(\alpha=2,\ \beta=5\) なら和 \(7\)、積 \(10\) で、どちらも正です。
\(\alpha=-2,\ \beta=-5\) なら和 \(-7\)、積 \(10\) で、積は正ですが和は負です。
積が正でも、ともに正とは限らないんだね！
積 \({\color{#45A3DA}{\alpha\beta>0}}\) なら、2数は同じ符号です。
そのうえで和 \({\color{#EE4656}{\alpha+\beta>0}}\) なら2数はともに正、和 \({\color{#EE4656}{\alpha+\beta<0}}\) なら2数はともに負と分かります。
また、積 \({\color{#45A3DA}{\alpha\beta<0}}\) なら2数は異符号です。
まず積で同じ符号かどうか、次に和で正か負かを見るんだよ！
ただし、虚数には正・負がないので、\(\alpha,\ \beta\) が実数であることが前提です。
異なる2つの実数解をもつ条件 \({\color{#3CB371}{D>0}}\) も合わせて考えます。
グラフで見ると、2つの解がともに正とは、放物線が \(x\) 軸の正の部分と異なる2点で交わることです。
- ともに正 \(\Leftrightarrow\ {\color{#3CB371}{D>0}},\ {\color{#EE4656}{\alpha+\beta>0}},\ {\color{#45A3DA}{\alpha\beta>0}}\)
- ともに負 \(\Leftrightarrow\ {\color{#3CB371}{D>0}},\ {\color{#EE4656}{\alpha+\beta<0}},\ {\color{#45A3DA}{\alpha\beta>0}}\)
- 異符号 \(\Leftrightarrow\ {\color{#45A3DA}{\alpha\beta<0}}\)
2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) で \(\alpha\beta=\frac{c}{a}<0\) ならば、\(a\) と \(c\) は異符号なので \(ac<0\) です。
すると \(-4ac>0\) となり、\(D=b^2-4ac>0\) が必ず成り立ちます。
つまり、積が負という条件だけで、異なる2つの実数解をもつことが保証されるのです。
異なる2つの正の解をもつ条件を求める
2次方程式 \(x^2-ax+a^2-3a=0\) が、異なる2つの正の解をもつような定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。
2つの解を \(\alpha,\ \beta\)、判別式を \(D\) とします。
解と係数の関係より、\(\alpha+\beta=a\)、\(\alpha\beta=a^2-3a\) です。
異なる2つの正の解をもつ条件は、次の3つが同時に成り立つことです。
[1] \({\color{#3CB371}{D=(-a)^2-4(a^2-3a)=-3a^2+12a>0}}\)
両辺を \(-3\) で割ると \(a^2-4a<0\)、つまり \(a(a-4)<0\) なので、\(0<a<4\) です。
[2] \({\color{#EE4656}{\alpha+\beta=a>0}}\)
[3] \({\color{#45A3DA}{\alpha\beta=a(a-3)>0}}\) より \(a<0,\ 3<a\)
条件を1つずつ出して、最後に数直線で重ねればいいんだね！
3つの条件を数直線に表して、共通する範囲を求めます。
![条件[1][2][3]を重ねた数直線（3＜a＜4）](https://teacher-incom.com/wp-content/uploads/2026/11/cx10_numberline.png)
[1]、[2]、[3] の共通範囲を求めると、\({\color{#EE4656}{3<a<4}}\) となります。
練習問題
2次方程式 \(x^2+2(m-3)x+4m=0\) が、次のような解をもつとき、定数 \(m\) の値の範囲を求めよ。
(1) 異なる2つの正の解
(2) 異なる2つの負の解
(3) 正の解と負の解
答えを見る
2つの解を \(\alpha,\ \beta\)、判別式を \(D\) とする。
\(\frac{D}{4}=(m-3)^2-4m=m^2-10m+9=(m-1)(m-9)\)
\(\alpha+\beta=-2(m-3)\) \(\alpha\beta=4m\)
(1) \(D>0\) より \(m<1,\ 9<m\)、\(\alpha+\beta>0\) より \(m<3\)、\(\alpha\beta>0\) より \(m>0\)
よって \({\color{#EE4656}{0<m<1}}\)
(2) \(D>0\) より \(m<1,\ 9<m\)、\(\alpha+\beta<0\) より \(m>3\)、\(\alpha\beta>0\) より \(m>0\)
よって \({\color{#EE4656}{m>9}}\)
(3) \(\alpha\beta=4m<0\) より \({\color{#EE4656}{m<0}}\)
まとめ：2次方程式の解の存在範囲
さて、今回のまとめだよ！
■ 解の符号
2次方程式の異なる2つの実数解を \(\alpha,\ \beta\)、判別式を \(D\) とすると
- 2解 \(\alpha,\ \beta\) がともに正 \(\Leftrightarrow\ {\color{#3CB371}{D>0}},\ {\color{#EE4656}{\alpha+\beta>0}},\ {\color{#45A3DA}{\alpha\beta>0}}\)
- 2解 \(\alpha,\ \beta\) がともに負 \(\Leftrightarrow\ {\color{#3CB371}{D>0}},\ {\color{#EE4656}{\alpha+\beta<0}},\ {\color{#45A3DA}{\alpha\beta>0}}\)
- 2解 \(\alpha,\ \beta\) が異符号 \(\Leftrightarrow\ {\color{#45A3DA}{\alpha\beta<0}}\)
■ 注意
\(\alpha,\ \beta\) が実数解であることが前提なので、\(D>0\) が必要である。
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
（前の記事は準備中）
（次の記事は準備中）
コメント