今日の板書はこれ！
■ 虚数単位
2乗すると \(-1\) になる数を \(i\) で表し、虚数単位という。
\(i^2=-1\)
■ 複素数
\(a,\ b\) を実数として \(a+bi\) の形で表される数を複素数という。
\({\color{#45A3DA}{a}}\) を実部、\({\color{#E9548E}{b}}\) を虚部という。
■ 実数と虚数
\(b=0\) のとき \(a\) となり、これは実数である。
\(b\neq0\) のとき虚数という。
\(a=0\) かつ \(b\neq0\) のとき \(bi\) となり、これを純虚数という。
- 実数（\(b=0\)）：有理数 \(-1,\ 0,\ \frac{1}{2}\) など、無理数 \(\sqrt{2},\ \pi\) など
- 虚数（\(b\neq0\)）：\(i,\ -2i,\ 4+3i\) など
■ 注意
虚数には大小関係を考えない。
次の複素数の実部と虚部をいえ。
(1) \(3-2i\) (2) \(\frac{1+\sqrt{3}\,i}{2}\)
(3) \(2\) (4) \(i\)
▼ 解答
(1) 実部は \({\color{#45A3DA}{3}}\)、虚部は \({\color{#E9548E}{-2}}\)
(2) \(\frac{1+\sqrt{3}\,i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\) より、
実部は \({\color{#45A3DA}{\frac{1}{2}}}\)、虚部は \({\color{#E9548E}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\)
(3) \(2=2+0i\) より、実部は \({\color{#45A3DA}{2}}\)、虚部は \({\color{#E9548E}{0}}\)
(4) \(i=0+1i\) より、実部は \({\color{#45A3DA}{0}}\)、虚部は \({\color{#E9548E}{1}}\)
もっと詳しく願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
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虚数単位 i とは？
数の世界は「解なし」をきっかけに広がってきた
これまで学んできた数の世界は、「方程式が解けない」という場面をきっかけに広がってきました。
- 自然数の世界では \(x+2=2\) は解なし → 「\(0\)」を導入
- 自然数と \(0\) の世界では \(x+2=1\) は解なし → 「負の数」を導入し、整数の世界が完成
- 整数の世界では \(2x=1\) は解なし → 「分数」を導入し、有理数の世界が完成
- 有理数の世界では \(x^2=2\) は解なし → 「無理数」を導入し、実数の世界が完成
- 実数の世界では \(x^2=-2\) は解なし → 「虚数」を導入し、複素数の世界が完成
数の世界は、解けない方程式が出てくるたびに新しい数を仲間に入れて広げてきたんだよ！
実数は2乗すると必ず \(0\) 以上になるので、\(x^2=-2\) を満たす実数はありません。
そこで、\(x^2=-2\) の解を \(x=\pm\sqrt{-2}\) と考えられるように、つまり \((\sqrt{-2})^2=-2\) となるように、新しい数を考えます。
虚数単位
2乗すると \(-1\) になる新しい数を \(i\) で表し、これを虚数単位といいます。
\(i^2=-1\)
\(i\) は \(\sqrt{-1}\) のことだと考えてかまいません。
この \(i\) を使えば、\(\sqrt{-2}\) は \(\sqrt{2}\,i\) と表せるので、\((\sqrt{2}\,i)^2=2i^2=-2\) となり、\(x^2=-2\) の解が表せるようになります。
2乗してマイナスになる数を、新しく作ったってことか！
複素数とは？
複素数の定義
実数 \(a,\ b\) と虚数単位 \(i\) を使って \(a+bi\) の形で表される数を複素数といいます。
複素数は、実数と虚数を一体にして扱うための数です。
このとき、\({\color{#45A3DA}{a}}\) を実部、\({\color{#E9548E}{b}}\) を虚部といいます。
たとえば \(5+7i\) の実部は \({\color{#45A3DA}{5}}\)、虚部は \({\color{#E9548E}{7}}\) です。
虚部は \(bi\) ではなく \(b\) だよ。\(i\) は付けないので注意しよう！
実数・虚数・純虚数
虚部 \(b\) が \(0\) のとき、\(a+0i=a\) となるので、これはふつうの実数です。
つまり、実数も複素数の仲間に入っています。
a+bi の形で、実数も虚数もまとめて表せるんだね！
虚部 \(b\) が \(0\) でないとき、\(a+bi\) を虚数といいます。
特に、実部 \(a\) が \(0\) で虚部 \(b\) が \(0\) でないときは \(bi\) となり、これを純虚数といいます。
たとえば \(-5i\) や \(\sqrt{2}\,i\) は純虚数です。
- 実数（\(b=0\)）：有理数 \(-1,\ 0,\ \frac{1}{2}\) など、無理数 \(\sqrt{2},\ \pi\) など
- 虚数（\(b\neq0\)）：\(i,\ -2i,\ 4+3i\) など
虚数には大小関係がない
実数どうしは「どちらが大きいか」を比べられますが、虚数には大小関係を考えません。
\(i\) は正の数でも負の数でもなく、\(0\) でもありません。
もし \(i>0\) だとすると、正の数どうしの積は正なので \(i\times i>0\)、つまり \(-1>0\) となって矛盾します。
もし \(i<0\) だとすると、\(-i>0\) なので \((-i)\times(-i)>0\)、つまり \(i^2=-1>0\) となって、やはり矛盾します。
また、\(i=0\) なら \(i^2=0\) となり、\(i^2=-1\) に合いません。
このように、\(i\) を正・負・\(0\) のどれかに決めると矛盾が起こるため、虚数には大小関係を考えないのです。
複素数の実部と虚部を読み取る
次の複素数の実部と虚部をいえ。
(1) \(3-2i\) (2) \(\frac{1+\sqrt{3}\,i}{2}\)
(3) \(2\) (4) \(i\)
(1) は \(3+(-2)i\) と見ると、実部は \({\color{#45A3DA}{3}}\)、虚部は \({\color{#E9548E}{-2}}\) です。
(2) は分数のままだと分かりにくいので、\(\frac{1+\sqrt{3}\,i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\) と \(a+bi\) の形に直します。
すると、実部は \({\color{#45A3DA}{\frac{1}{2}}}\)、虚部は \({\color{#E9548E}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\) と分かります。
(3) は \(2=2+0i\) と考えるので、実部は \({\color{#45A3DA}{2}}\)、虚部は \({\color{#E9548E}{0}}\) です。
(4) は \(i=0+1i\) と考えるので、実部は \({\color{#45A3DA}{0}}\)、虚部は \({\color{#E9548E}{1}}\) です。
どんな数も \(a+bi\) の形に直してから読み取ると、迷わないよ！
練習問題
次の複素数の実部と虚部をいえ。
(1) \(-3+5i\) (2) \(\frac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}\)
(3) \(1\) (4) \(-i\)
答えを見る
(1) 実部は \({\color{#45A3DA}{-3}}\)、虚部は \({\color{#E9548E}{5}}\)
(2) \(\frac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\) より、実部は \({\color{#45A3DA}{-\frac{1}{2}}}\)、虚部は \({\color{#E9548E}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}}\)
(3) 実部は \({\color{#45A3DA}{1}}\)、虚部は \({\color{#E9548E}{0}}\)
(4) 実部は \({\color{#45A3DA}{0}}\)、虚部は \({\color{#E9548E}{-1}}\)
まとめ：虚数と複素数
さて、今回のまとめだよ！
■ 虚数単位
2乗すると \(-1\) になる数を \(i\) で表し、虚数単位という。
\(i^2=-1\)
■ 複素数
\(a,\ b\) を実数として \(a+bi\) の形で表される数を複素数という。
\({\color{#45A3DA}{a}}\) を実部、\({\color{#E9548E}{b}}\) を虚部という。
■ 実数と虚数
\(b=0\) のとき \(a\) となり、これは実数である。
\(b\neq0\) のとき虚数という。
\(a=0\) かつ \(b\neq0\) のとき \(bi\) となり、これを純虚数という。
- 実数（\(b=0\)）：有理数 \(-1,\ 0,\ \frac{1}{2}\) など、無理数 \(\sqrt{2},\ \pi\) など
- 虚数（\(b\neq0\)）：\(i,\ -2i,\ 4+3i\) など
■ 注意
虚数には大小関係を考えない。
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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