【数学B】統計的な推測03：標本平均の分布

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

標本平均が54より大きくなる確率は？

標本平均の分布とは？

正規分布は、平均と標準偏差が決まれば形が1つに決まります。

標本平均 \(\overline{X}\) の平均（期待値）と標準偏差は、前回の記事で求めたとおりです。

\(E(\overline{X})=\color{#8E44AD}{m}\)　\(\sigma(\overline{X})=\frac{\color{#F39800}{\sigma}}{\sqrt{n}}\)

したがって、\(n\) が十分大きいとき、標本平均 \(\overline{X}\) は近似的に次の正規分布に従います。

\(N\left(\color{#8E44AD}{m},\ \frac{\color{#F39800}{\sigma}^2}{n}\right)\)

標準化して確率を求めよう

標本平均が従う分布を求める

母平均は \(\color{#8E44AD}{m}=50\)、母標準偏差は \(\color{#F39800}{\sigma}=20\)、標本の大きさは \(n=100\) です。

標本平均の標準偏差は、　\(\sigma(\overline{X})=\frac{20}{\sqrt{100}}=\color{#F39800}{2}\)　となります。

100は十分大きいので、標本平均 \(\overline{X}\) は近似的に正規分布 \(N(\color{#8E44AD}{50},\ \color{#F39800}{2}^2)\) に従います。

標準化する

正規分布表を使うために、平均50を引いて、標準偏差2で割ります。

\(Z=\frac{\overline{X}-\color{#8E44AD}{50}}{\color{#F39800}{2}}\)

とおくと、\(Z\) は近似的に標準正規分布 \(N(0,\ 1)\) に従います。

\(\overline{X}=54\) のとき、　\(Z=\frac{54-50}{2}=\color{#EE4656}{2}\)　なので、\(P(\overline{X}>54)=P(Z>2)\) です。

正規分布表で確率を求める

正規分布表で \(u=2.00\) の値を読むと、\(p(2)=0.4772\) です。

\(p(2)\) は \(0\leq Z\leq 2\) の確率で、山の右半分全体の確率は0.5なので、

\(P(Z>2)=0.5-p(2)=0.5-0.4772\color{#EE4656}{=0.0228}\)

となります。

練習問題

答えを見る

母平均 \(\color{#8E44AD}{m}=100\)、母標準偏差 \(\color{#F39800}{\sigma}=50\)、標本の大きさ \(n=400\) であるから、

\(\sigma(\overline{X})=\frac{\color{#F39800}{\sigma}}{\sqrt{n}}=\frac{50}{\sqrt{400}}=\color{#F39800}{2.5}\)

400は十分大きいから、\(\overline{X}\) は近似的に正規分布 \(N(\color{#8E44AD}{100},\ \color{#F39800}{2.5}^2)\) に従う。

よって、\(Z=\frac{\overline{X}-\color{#8E44AD}{100}}{\color{#F39800}{2.5}}\) とおくと、\(Z\) は近似的に標準正規分布 \(N(0,\ 1)\) に従う。

\(\overline{X}=96\) のとき \(Z=\frac{96-100}{2.5}=\color{#EE4656}{-1.6}\)

\(\overline{X}=104\) のとき \(Z=\frac{104-100}{2.5}=\color{#EE4656}{1.6}\)

したがって、

\(\begin{aligned}P(96\leq\overline{X}\leq 104)&=P(\color{#EE4656}{-1.6}\leq Z\leq\color{#EE4656}{1.6})\\[8pt]&=2p(1.6)=2\times 0.4452\\[8pt]&\color{#EE4656}{=0.8904}\end{aligned}\)

まとめ：標本平均の分布