今日の板書はこれ！
■ 2直線 \(y=m_1x+n_1,\ y=m_2x+n_2\) の位置関係
① 平行条件
\(m_1=m_2\)
② 垂直条件
\(m_1m_2=-1\)
次の2直線は、それぞれ平行、垂直のいずれであるか。
(1) \(y=2x+3,\ y=2x-1\)
(2) \(y=2x+3,\ y=-\frac{1}{2}x-1\)
▼ 解答
(1) 傾きが等しいので 平行
(2) 傾きの積が \(2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1\) なので 垂直
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2直線が平行になる条件
2直線 \(y={\color{#45A3DA}{m_1}}x+n_1,\ y={\color{#E9548E}{m_2}}x+n_2\) を考えます。
平行な2直線は、同じ方向に同じだけ傾いているので、傾きと傾きが等しくなります。
平行 \(\Leftrightarrow\) \({\color{#45A3DA}{m_1}}={\color{#E9548E}{m_2}}\)
なお、\(n_1=n_2\) でもあると2直線は重なりますが、ここでは重なる場合も平行に含めて考えます。
2直線が垂直になる条件
一方、2直線が垂直になる条件は、傾きの積が \(-1\) になることです。
たとえば傾き \(2\) の直線と垂直な直線の傾きは、\(2\times m=-1\) より \(-\frac{1}{2}\) です。
垂直 \(\Leftrightarrow\) \({\color{#45A3DA}{m_1}}{\color{#E9548E}{m_2}}=-1\)
垂直な直線の傾きは「逆数にしてマイナスをつける」と覚えると速いよ！
なぜ積が \(-1\) になるのかを確かめます。
平行移動しても傾きは変わらないので、2直線の交点が原点になるように動かし、\(y={\color{#45A3DA}{m_1}}x,\ y={\color{#E9548E}{m_2}}x\) で考えます。
それぞれの直線上に、\(x\) 座標が \(1\) の点 \(\mathrm{A}(1,\ {\color{#45A3DA}{m_1}})\) と \(\mathrm{B}(1,\ {\color{#E9548E}{m_2}})\) をとります。
2直線が垂直なら \(\triangle\mathrm{OAB}\) は \(\angle\mathrm{O}\) が直角の三角形なので、三平方の定理より \(\mathrm{OA}^2+\mathrm{OB}^2=\mathrm{AB}^2\) です。
\((1+m_1^2)+(1+m_2^2)=(m_1-m_2)^2\)
右辺を展開すると \(m_1^2-2m_1m_2+m_2^2\) です。
両辺から \(m_1^2+m_2^2\) を引くと \(2=-2m_1m_2\) となり、\({\color{#45A3DA}{m_1}}{\color{#E9548E}{m_2}}=-1\) が得られます。
三平方の定理から、ちゃんと −1 が出てくるんだね！
2直線の位置関係を判定する
次の2直線は、それぞれ平行、垂直のいずれであるか。
(1) \(y=2x+3,\ y=2x-1\)
(2) \(y=2x+3,\ y=-\frac{1}{2}x-1\)
(1) は傾きがどちらも \(2\) で等しいので、2直線は平行です。
(2) は傾きの積が \(2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1\) なので、2直線は垂直です。
一般形 ax＋by＋c＝0 で与えられたときは、まず y＝ の形に直して傾きを読み取ろう！
練習問題
次の直線のうち、直線 \(y=-2x\) と平行であるものはどれか。
① \(y=2x-3\) ② \(y=-2x+4\) ③ \(2x+y+5=0\)
答えを見る
③ は \(y=-2x-5\) と変形できる。傾きが \(-2\) であるものを選んで ②、③
次の2直線は、それぞれ平行、垂直のいずれであるか。
(1) \(y=4x+1,\ y=4x-3\)
(2) \(y=3x-1,\ x+3y+2=0\)
(3) \(2x+3y=3,\ 4x+6y=5\)
(4) \(3x+4y=2,\ 4x-3y=1\)
答えを見る
(1) 傾きはともに \(4\) より 平行
(2) \(y=-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\) 傾きの積は \(3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=-1\) より 垂直
(3) \(y=-\frac{2}{3}x+1,\ y=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{6}\) 傾きが等しいので 平行
(4) \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2},\ y=\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}\) 傾きの積は \(-1\) より 垂直
点 \(\mathrm{A}(2,\ 1)\) を通り、直線 \(2x+3y+4=0\) に垂直な直線を \(\ell\) とする。
(1) 直線 \(\ell\) の傾きを求めよ。
(2) 直線 \(\ell\) の方程式を求めよ。
答えを見る
(1) \(2x+3y+4=0\) の傾きは \(-\frac{2}{3}\) である。\(\ell\) の傾きを \(m\) とすると \(-\frac{2}{3}m=-1\) より \({\color{#EE4656}{m=\frac{3}{2}}}\)
(2) \(y-1=\frac{3}{2}(x-2)\) より \({\color{#EE4656}{y=\frac{3}{2}x-2}}\)
点 \(\mathrm{A}(3,\ -1)\) を通り、直線 \(3x+2y+1=0\) に垂直な直線、平行な直線の方程式をそれぞれ求めよ。
答えを見る
\(3x+2y+1=0\) の傾きは \(-\frac{3}{2}\) である。
垂直な直線の傾きは \(\frac{2}{3}\) より \(y+1=\frac{2}{3}(x-3)\) すなわち \({\color{#EE4656}{y=\frac{2}{3}x-3}}\)
平行な直線の傾きは \(-\frac{3}{2}\) より \(y+1=-\frac{3}{2}(x-3)\) すなわち \({\color{#EE4656}{y=-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}}}\)
まとめ：2直線の平行条件・垂直条件
さて、今回のまとめだよ！
■ 2直線 \(y=m_1x+n_1,\ y=m_2x+n_2\) の位置関係
① 平行条件
\(m_1=m_2\)
② 垂直条件
\(m_1m_2=-1\)
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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