今日の板書はこれ！
■ 解と係数の関係
2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とすると
\({\color{#EE4656}{\alpha+\beta=-\frac{b}{a}}}\) \({\color{#45A3DA}{\alpha\beta=\frac{c}{a}}}\)
■ ポイント
2つの解の和と積は、係数を見ただけで分かる。
2次方程式 \(2x^2+x-6=0\) について、2つの解の和と積を求めよ。
▼ 解答
2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とすると
\({\color{#EE4656}{\alpha+\beta=-\frac{1}{2}}}\) \({\color{#45A3DA}{\alpha\beta=\frac{-6}{2}=-3}}\)
もっと詳しく願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。
「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。
でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。
意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！
勉強してるのに点が取れない人は、こっちも読んでみて！
2つの解の和と積
2次方程式 \(x^2-5x+6=0\) を解くと、\((x-2)(x-3)=0\) より \(x=2,\ 3\) です。
この2つの解の和は \({\color{#EE4656}{5}}\)、積は \({\color{#45A3DA}{6}}\) になります。
もとの方程式 \(x^2-5x+6=0\) の係数を見ると、\(x\) の係数が \(-5\)、定数項が \(6\) です。
和は \(x\) の係数の符号を変えたもの、積は定数項と一致しています。
偶然じゃないんだよ。どんな2次方程式でも、解の和と積は係数から分かるんだ！
解と係数の関係
一般の2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) で確かめましょう。
解の公式より、2つの解は次のように表せます。
\(\alpha=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) \(\beta=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
和を計算すると、根号の部分が打ち消し合います。
\(\begin{aligned}{\color{#EE4656}{\alpha+\beta}}&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[8pt]&=\frac{-2b}{2a}={\color{#EE4656}{-\frac{b}{a}}}\end{aligned}\)
根号の部分が打ち消し合って、すっきりした！
積を計算すると、分子が和と差の積の形になるので、根号が外れます。
\(\begin{aligned}{\color{#45A3DA}{\alpha\beta}}&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\times\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[8pt]&=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}={\color{#45A3DA}{\frac{c}{a}}}\end{aligned}\)
これを解と係数の関係といいます。
解が虚数でも、この関係はそのまま成り立ちます。
\({\color{#EE4656}{\alpha+\beta=-\frac{b}{a}}}\) \({\color{#45A3DA}{\alpha\beta=\frac{c}{a}}}\)
2つの解の和と積を求める
2次方程式 \(2x^2+x-6=0\) について、2つの解の和と積を求めよ。
\(a=2,\ b=1,\ c=-6\) を解と係数の関係に当てはめます。
\({\color{#EE4656}{\alpha+\beta=-\frac{1}{2}}}\) \({\color{#45A3DA}{\alpha\beta=\frac{-6}{2}=-3}}\)
実際に解くと、\((2x-3)(x+2)=0\) より \(x=\frac{3}{2},\ -2\) なので、和は \(-\frac{1}{2}\)、積は \(-3\) となり、確かに一致しています。
解を求めなくても、一瞬で和と積が出せるんだ！
練習問題
次の2次方程式について、2つの解の和と積を求めよ。
(1) \(x^2+4x+2=0\) (2) \(3x^2-6x-4=0\)
答えを見る
(1) 和 \({\color{#EE4656}{-4}}\)、積 \({\color{#45A3DA}{2}}\)
(2) 和 \({\color{#EE4656}{-\frac{-6}{3}=2}}\)、積 \({\color{#45A3DA}{-\frac{4}{3}}}\)
まとめ：解と係数の関係
さて、今回のまとめだよ！
■ 解と係数の関係
2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の2つの解を \(\alpha,\ \beta\) とすると
\({\color{#EE4656}{\alpha+\beta=-\frac{b}{a}}}\) \({\color{#45A3DA}{\alpha\beta=\frac{c}{a}}}\)
■ ポイント
2つの解の和と積は、係数を見ただけで分かる。
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
（前の記事は準備中）
（次の記事は準備中）
コメント