【数学A】図形の性質02：三角形の角の二等分線と辺の比

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

∠Aの二等分線が分ける線分BDの長さは？

内角の二等分線と辺の比

∠Aの二等分線には、向かいの辺BCを、∠Aをはさむ2辺 AB，AC と同じ比に分けるという性質があります。

具体的な三角形で、この性質を使って長さを求めてみましょう。

AB＝6，AC＝3，BC＝6 の△ABCで、∠Aの二等分線と辺BCの交点をPとします。

性質より、BP：PC は AB：AC と等しくなります。

BP：PC＝AB：AC＝6：3＝2：1

BC＝6 を \(2:1\) に分けるので、BPはBC全体の \(\frac{2}{3}\)、PCはBC全体の \(\frac{1}{3}\) です。

\(\mathrm{BP}=6\times \frac{2}{3}=\color{#45A3DA}{4}\)　　\(\mathrm{PC}=6\times \frac{1}{3}=\color{#E9548E}{2}\)

一般に、△ABCの∠Aの二等分線と辺BCの交点をPとすると、次の式が成り立ちます。

BP：PC＝AB：AC

点Pは線分BC上にあるので、このことを「点Pは辺BCを AB：AC に内分する」といいます。

Aから見て、ABの側にある部分がBP、ACの側にある部分がPCです。

同じ側どうしを対応させると覚えやすくなります。

最初の問題を解こう

内角の二等分線の性質を使って、例題1を解いてみましょう。

ADは∠Aの二等分線なので、点Dは辺BCを AB：AC に内分します。

BD：DC＝AB：AC＝10：15＝2：3

BC＝15 を \(2:3\) に分けるので、BDはBC全体の \(\frac{2}{5}\) です。

\(\mathrm{BD}=15\times \frac{2}{5}=\color{#45A3DA}{6}\)

外角の二等分線と辺の比

∠Aの外角とは、辺BAをAの先へ延ばした直線と、辺ACがつくる角です。

この外角の二等分線は、辺BCの延長と交わります。

その交点をQとすると、BQ：QC は、内角のときと同じ比 AB：AC と等しくなります。

点Qは線分BCの外側にあるので、このことを「点Qは辺BCを AB：AC に外分する」といいます。

具体的な三角形で、長さを求めてみましょう。

AB＝6，AC＝3，BC＝4 の△ABCで、∠Aの外角の二等分線と直線BCの交点をQとします。

BQ：QC＝AB：AC＝6：3＝2：1

BQの方がQCより長いので、点QはCの先（辺BCをCの側へ延ばした所）にあります。

BQが \(2\)、QCが \(1\) にあたるので、その差のBCは \(2-1=1\) にあたります。

BC＝4 なので、1にあたる長さが4です。

\(\mathrm{QC}=4\times 1=\color{#E9548E}{4}\)　　\(\mathrm{BQ}=4\times 2=\color{#45A3DA}{8}\)

一般に、AB≠AC である△ABCの∠Aの外角の二等分線と直線BCの交点をQとすると、次の式が成り立ちます。

BQ：QC＝AB：AC

AB＝AC のときは、外角の二等分線が辺BCと平行になり、直線BCと交わらないので除きます。

練習問題

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(1) BD：DC＝AB：AC＝10：6＝5：3

(2) (1)より　\(\mathrm{BD}=12\times \frac{5}{8}=\color{#45A3DA}{\frac{15}{2}}\)

答えを見る

点Dは辺BCを AB：AC に外分するから

BD：DC＝AB：AC＝20：15＝4：3

BCは \(4-3=1\) にあたるから　\(\mathrm{BD}:\mathrm{BC}=4:1\)

よって　\(\mathrm{BD}=4\times 10=\color{#45A3DA}{40}\)

まとめ：三角形の角の二等分線と辺の比