【数学B】確率分布08：正規分布と標準化

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

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でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

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この問題を解きたい！

身長のように連続的な値をとる確率変数では、確率は分布曲線とx軸の間の面積で表されることを、前回学びました。

つまり、この問題で求めたいのは、身長の分布曲線のうち 178cm 以上の部分の面積 です。

でも、身長の分布曲線はどんな形をしていて、その面積はどうやって求めればよいのでしょうか。

この問題は、次の3つの道具がそろうと解けるようになります。

• 正規分布（身長の分布曲線の形）
• 正規分布表（面積を読み取る表）
• 標準化（どんな正規分布でも表を使えるようにする方法）

正規分布

正規分布とは？

身長やテストの点数などのデータをヒストグラムにすると、平均のあたりがいちばん高く、平均から離れるほど低くなる、左右対称な山の形になることがよくあります。

この山の形をなめらかな曲線で表したものが、正規分布曲線です。

このような左右対称な山の形の分布を正規分布といいます。

平均が \(m\)、標準偏差が \(\sigma\) の正規分布を\(N(m,\ \sigma^2)\) と表し、確率変数 \(X\) がこの分布に従うとき、「\(X\) は正規分布 \(N(m,\ \sigma^2)\) に従う」といいます。

このとき、期待値は \(E(X)=m\)、標準偏差は \(\sigma(X)=\sigma\) です。

正規分布の形は、平均 \(m\) と標準偏差 \(\sigma\) の2つの数だけで決まります。

正規分布曲線の性質

正規分布曲線には、次の性質があります。

• \(x=m\) で最大となり、直線 \(x=m\) に関して左右対称である。
• 標準偏差 \(\sigma\) が大きくなると横に広がり、小さくなると狭まる。

また、平均 \(m\) を中心とした範囲には、次の割合が入ります。

• \(m-\sigma\) から \(m+\sigma\) まで：約68%
• \(m-2\sigma\) から \(m+2\sigma\) まで：約95%
• \(m-3\sigma\) から \(m+3\sigma\) まで：約99.7%

社会現象や自然現象のデータの分布は、正規分布になることが多いことが知られています。

例題2

平均が \(m=170.6\)、標準偏差が \(\sigma=5.8\) なので、\(X\) は正規分布　\(N(170.6,\ 5.8^2)\)　に従います。

\(N(m,\ \sigma^2)\) の2つ目には分散 \(\sigma^2\) が入るので、5.8 ではなく \(5.8^2\) と書くことに注意しましょう。

標準正規分布と正規分布表

標準正規分布とは？

正規分布の中でも、平均が0、標準偏差が1の正規分布 \(N(0,\ 1)\) を標準正規分布といいます。

標準正規分布に従う確率変数は、ふつう \(Z\) で表します。

標準正規分布については、0 から \(u\) までの面積 \(p(u)=P(0\leq Z\leq u)\) の値をまとめた正規分布表があり、これを使って確率を求めます。

正規分布表の読み方

たとえば、\(p(1.23)\) の値を調べてみます。

1.23 を「1.2」と「0.03」に分け、左の列で 1.2 の行を、上の行で .03 の列を探します。

その行と列が交わるところの値 0.3907 が、\(p(1.23)\) の値です。

同じように、2.0 の行と .00 の列から、\(p(2)=0.4772\) と読み取れます。

対称性を使う

正規分布表には、\(u\geq 0\) のときの \(p(u)\) しかのっていません。

マイナスの範囲や、0をまたぐ範囲の確率は、分布曲線が \(z=0\) に関して対称であることを使って求めます。

\(P(-u\leq Z\leq 0)=P(0\leq Z\leq u)=p(u)\)

\(P(Z\leq 0)=P(Z\geq 0)=0.5\)

1つ目の式は、曲線が左右対称なので、0の左側と右側で同じ幅の部分の面積が等しいことを表しています。

2つ目の式は、全体の面積1が、0を境に左右半分ずつに分かれることを表しています。

例題3

(1) は0から 1.23 までの面積なので、そのまま表の値を使います。

\(P(0\leq Z\leq 1.23)=p(1.23)\color{#3CB371}{=0.3907}\)

(2) は0をまたいでいるので、0で2つに分けて考えます。

左側の \(P(-2\leq Z\leq 0)\) は、対称性から \(p(2)\) と同じです。

(3) は1.23 から2までの面積なので、0から2までの面積から、0から 1.23 までの面積を引きます。

標準化

標準化とは？

正規分布表は、標準正規分布 \(N(0,\ 1)\) のものしかありません。

では、ほかの正規分布の確率はどう求めればよいのでしょうか。

たとえば、\(X\) が正規分布 \(N(4,\ 3^2)\) に従うとします。

分布曲線の山の中心は 4 で、4±3 の位置（1 と 7）に区切りの線を引けます。

ここで \(X\) から 4 を引く と、山の中心が 0 に移り、区切りの位置は −3 と 3 になります。

さらに 3 でわる と、区切りの位置が −1 と 1 になり、標準正規分布 \(N(0,\ 1)\) と同じ形になります。

一般に、平均 \(m\) を引いて、標準偏差 \(\sigma\) でわれば、どんな正規分布も標準正規分布になります。

\(X\) が正規分布 \(N(m,\ \sigma^2)\) に従うとき、\(Z=\frac{X-m}{\sigma}\) とおくと、\(Z\) は標準正規分布 \(N(0,\ 1)\) に従います。

このように変換することを標準化といいます。

標準化すれば、正規分布表を使って確率を求められるようになります。

例題4

まず、平均 4、標準偏差 3 を使って　\(Z=\frac{X-4}{3}\)　と標準化します。

すると、\(Z\) は標準正規分布 \(N(0,\ 1)\) に従います。

次に、\(X\) の範囲の両端を \(Z\) の値に直します。

\(X=1\) のとき　\(\color{#EE4656}{Z}=\frac{1-4}{3}=\color{#EE4656}{-1}\)

\(X=7\) のとき　\(\color{#EE4656}{Z}=\frac{7-4}{3}=\color{#EE4656}{1}\)

あとは、例題3と同じように、0で分けて対称性を使います。

0.6826 はおよそ68%で、正規分布曲線の性質で見た「\(m-\sigma\) から \(m+\sigma\) までに約68%」と一致しています。

最初の問題を解こう

3つの道具がそろったので、最初の問題に戻りましょう。

身長を \(X\) cm とすると、平均 169.9、標準偏差 5.9 なので、\(X\) は正規分布　\(N(169.9,\ 5.9^2)\)　に従います。

そこで　\(Z=\frac{X-169.9}{5.9}\)　と標準化すると、\(Z\) は標準正規分布 \(N(0,\ 1)\) に従います。

178cm を \(Z\) の値に直すと、次のようになります。

\(X=178\) のとき　\(\color{#EE4656}{Z}=\frac{178-169.9}{5.9}=\frac{8.1}{5.9}\approx \color{#EE4656}{1.37}\)

求める確率は、\(Z\geq 1.37\) の部分の面積です。

正規分布表には0からの面積しかないので、右半分の面積 0.5 から \(p(1.37)\) を引いて求めます。

よって、身長 178cm 以上の生徒は　約8.5%　います。

練習問題

答えを見る

標準化の式 \(Z=\frac{X-m}{\sigma}\) と比べて、

\(m=2\)　\(\sigma=3\)

答えを見る

(1)

\(\begin{aligned}P(-2\leq Z\leq 2)&=P(-2\leq Z\leq 0)+P(0\leq Z\leq 2)\\[8pt]&=2p(2)\\[8pt]&=2\times 0.4772\\[8pt]&\color{#3CB371}{=0.9544}\end{aligned}\)

(2)　対称性より

\(\begin{aligned}P(-1.56\leq Z\leq -1)&=P(1\leq Z\leq 1.56)\\[8pt]&=p(1.56)-p(1)\\[8pt]&=0.4406-0.3413\\[8pt]&\color{#3CB371}{=0.0993}\end{aligned}\)

(3)

\(\begin{aligned}P(Z\leq 0.5)&=P(Z\leq 0)+P(0\leq Z\leq 0.5)\\[8pt]&=0.5+p(0.5)\\[8pt]&=0.5+0.1915\\[8pt]&\color{#3CB371}{=0.6915}\end{aligned}\)

答えを見る

\(Z=\frac{X-2}{5}\) とおくと、\(Z\) は標準正規分布 \(N(0,\ 1)\) に従う。

(1)

\(X=2\) のとき　\(\color{#EE4656}{Z=0}\)　\(X=12\) のとき　\(\color{#EE4656}{Z=2}\)

\(\begin{aligned}P(2\leq X\leq 12)&=P(\color{#EE4656}{0}\leq Z\leq \color{#EE4656}{2})\\[8pt]&=p(2)\\[8pt]&\color{#3CB371}{=0.4772}\end{aligned}\)

(2)

\(X=0\) のとき　\(\color{#EE4656}{Z=-0.4}\)　\(X=5\) のとき　\(\color{#EE4656}{Z=0.6}\)

\(\begin{aligned}P(0\leq X\leq 5)&=P(\color{#EE4656}{-0.4}\leq Z\leq \color{#EE4656}{0.6})\\[8pt]&=p(0.4)+p(0.6)\\[8pt]&=0.1554+0.2257\\[8pt]&\color{#3CB371}{=0.3811}\end{aligned}\)

答えを見る

身長を \(X\) cm とすると、\(X\) は正規分布 \(N(157.6,\ 5.4^2)\) に従う。\(Z=\frac{X-157.6}{5.4}\) とおくと、\(Z\) は標準正規分布 \(N(0,\ 1)\) に従う。

(1)

\(X=152\) のとき　\(\color{#EE4656}{Z}=\frac{152-157.6}{5.4}\approx \color{#EE4656}{-1.04}\)

\(\begin{aligned}P(X\leq 152)&=P(\color{#EE4656}{Z}\leq \color{#EE4656}{-1.04})\\[8pt]&=P(Z\geq 1.04)\\[8pt]&=0.5-p(1.04)\\[8pt]&=0.5-0.3508\\[8pt]&=0.1492\end{aligned}\)

よって　約14.9%

(2)

\(X=155\) のとき　\(\color{#EE4656}{Z}=\frac{155-157.6}{5.4}\approx \color{#EE4656}{-0.48}\)

\(X=160\) のとき　\(\color{#EE4656}{Z}=\frac{160-157.6}{5.4}\approx \color{#EE4656}{0.44}\)

\(\begin{aligned}P(155\leq X\leq 160)&=P(\color{#EE4656}{-0.48}\leq Z\leq \color{#EE4656}{0.44})\\[8pt]&=p(0.48)+p(0.44)\\[8pt]&=0.1844+0.1700\\[8pt]&=0.3544\end{aligned}\)

\(40000\times 0.3544=14176\)

よって　約14200人

まとめ：正規分布と標準化