【数学B】数列08：等比数列をなす3数（等比中項）

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

3つの数が等比数列になる条件（等比中項）

\(2,\ 6,\ 18\) は公比3の等比数列です。

まん中の \(6\) に注目すると、隣り合う項の比が等しいので \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}\) が成り立ち、分母を払うと \(6^2=2\cdot 18\) となります。

これを文字で考えます。

0でない3つの数 \(a,\ {\color{#EE4656}{b}},\ c\) がこの順に等比数列になるとき、\(\frac{b}{a}=\frac{c}{b}\) が成り立つので、次の式が得られます。

\(b^2=ac\)

このときの \(b\) を 等比中項 といいます。

\(a\) に 公比 \(r\) を掛けると \(b\)、\(b\) にもう一度 \(r\) を掛けると \(c\) になる関係です。

等比数列をなす3数の表し方

等比数列をなす3つの数を文字でおくときは、問題に合わせて次の表し方を使い分けます。

• 公比形　\(a,\ a{\color{#45A3DA}{r}},\ a{\color{#45A3DA}{r}}^2\)（初項 \(a\)、公比 \(r\)）
• 対称形　\(\frac{a}{{\color{#45A3DA}{r}}},\ a,\ a{\color{#45A3DA}{r}}\)（中央の項 \(a\)、公比 \(r\)）
• 平均形　\({\color{#EE4656}{b}}^2=ac\)（\(a,\ b,\ c\) がこの順に等比数列）

3つの数の積が分かっているときは対称形、まん中の数の値を求めたいときは平均形が便利です。

対称形の使い方は、このあとの例題2で確認しましょう。

等比数列をなす3数の問題を解く

平均形で3数 2, x, 5 の x を求める

まん中の項は \(x\) なので、\(b^2=ac\) に当てはめると \(x^2=2\cdot 5=10\) となります。

よって \(x=\pm\sqrt{10}\) です。

対称形で積と和から3つの数を求める

3つの数の積が分かっているので、まん中の数を \(a\)、公比を \(r\) として、対称形 \(\frac{a}{r},\ a,\ ar\) とおきます。

こうおくと、3つの数を掛けたときに \(r\) が打ち消し合って消えます。

\(\frac{a}{{\color{#45A3DA}{r}}}\cdot a\cdot a{\color{#45A3DA}{r}}=a^3=216\)

\(a^3=216\) より \(a=6\) です。

次に、和の条件に \(a=6\) を代入します。

\(\frac{6}{{\color{#45A3DA}{r}}}+6+6{\color{#45A3DA}{r}}=26\)

両辺に \(r\) を掛けて整理すると \(6r^2-20r+6=0\)、さらに2で割って \(3r^2-10r+3=0\) となります。

因数分解すると \((3r-1)(r-3)=0\) なので、\(r=\frac{1}{3},\ 3\) です。

\(r=3\) のときは \(2,\ 6,\ 18\)、\(r=\frac{1}{3}\) のときは \(18,\ 6,\ 2\) となり、どちらも同じ3つの数です。

よって、3つの数は \(2,\ 6,\ 18\) です。

練習問題

答えを見る

(1)　\(x^2=3\cdot 9=27\) より　\(x=\pm 3\sqrt{3}\)

(2)　\(x^2=\frac{1}{2}\cdot 8=4\) より　\(x=\pm 2\)

まとめ：等比数列をなす3数（等比中項）