今日の板書はこれ！
■ 連立不等式の表す領域
それぞれの不等式の表す領域の共通部分である。
■ AB＞0、AB＜0 型の不等式の表す領域
[1] \(AB>0\ \Leftrightarrow\ (A>0\) かつ \(B>0)\) または \((A<0\) かつ \(B<0)\)
[2] \(AB<0\ \Leftrightarrow\ (A>0\) かつ \(B<0)\) または \((A<0\) かつ \(B>0)\)
連立不等式 \(x+y-2>0,\ x-y<0\) の表す領域を図示せよ。
▼ 解答
\(x+y-2>0\) かつ \(x-y<0\ \Leftrightarrow\ y>-x+2\) かつ \(y>x\)
求める領域は、直線 \(y=-x+2\) の上側と直線 \(y=x\) の上側の共通部分で、境界線を含まない。
不等式 \((x-y+1)(x+y-1)<0\) の表す領域を図示せよ。
▼ 解答
\((x-y+1<0\) かつ \(x+y-1>0)\) または \((x-y+1>0\) かつ \(x+y-1<0)\)
よって \((y>x+1\) かつ \(y>-x+1)\) または \((y<x+1\) かつ \(y<-x+1)\)
求める領域は、2直線で分けられた上下の部分で、境界線を含まない。
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連立不等式の表す領域
連立不等式は、すべての不等式を同時に満たす点の集合を表します。
そのため、表す領域は、それぞれの不等式の表す領域の共通部分になります。
連立不等式の表す領域を図示する
連立不等式 \(x+y-2>0,\ x-y<0\) の表す領域を図示せよ。
まず、それぞれの不等式を \(y\) について解いて、どちら側かを確認します。
\(x+y-2>0\ \Leftrightarrow\ y>-x+2\) \(x-y<0\ \Leftrightarrow\ y>x\)
1つ目は直線 \(y=-x+2\) の上側、2つ目は直線 \(y=x\) の上側です。
この2つが重なる部分が、求める領域です。
等号がないので、境界線は含みません。
それぞれの領域を別の色でかいて、重なったところを答えにしよう！
AB＞0、AB＜0 の形の不等式
積の形の不等式は、積の符号の決まり方を使って連立不等式に直します。
2つの数の積が正になるのは「どちらも正」か「どちらも負」のとき、負になるのは「符号が異なる」ときです。
\(AB>0\ \Leftrightarrow\ (A>0\) かつ \(B>0)\) または \((A<0\) かつ \(B<0)\)
\(AB<0\ \Leftrightarrow\ (A>0\) かつ \(B<0)\) または \((A<0\) かつ \(B>0)\)
積の形の不等式の表す領域を図示する
不等式 \((x-y+1)(x+y-1)<0\) の表す領域を図示せよ。
\(A=x-y+1\)、\(B=x+y-1\) とすると、積が負なので、符号が異なる2つの場合に分けます。
\((x-y+1<0\) かつ \(x+y-1>0)\) または \((x-y+1>0\) かつ \(x+y-1<0)\)
それぞれを \(y\) について解くと、次のようになります。
\((y>x+1\) かつ \(y>-x+1)\) または \((y<x+1\) かつ \(y<-x+1)\)
前半は2直線の両方の上側、後半は両方の下側です。
2直線が交わってできる4つの部分のうち、上と下の2つが求める領域になり、境界線は含みません。
「または」だから、2つの部分を合わせたものが答えなんだね！
練習問題
次の不等式の表す領域を図示せよ。
(1) \((x-y)(3x-y+2)<0\)
(2) \((x+y+2)(x+y-1)\geq0\)
答えを見る
(1) \((x-y>0\) かつ \(3x-y+2<0)\) または \((x-y<0\) かつ \(3x-y+2>0)\)
よって \((y<x\) かつ \(y>3x+2)\) または \((y>x\) かつ \(y<3x+2)\)
2直線で分けられた左右の部分で、境界線を含まない。
(2) \((y\geq-x-2\) かつ \(y\geq-x+1)\) または \((y\leq-x-2\) かつ \(y\leq-x+1)\)
すなわち \(y\geq-x+1\) または \(y\leq-x-2\) 2本の平行な直線の外側の部分で、境界線を含む。
まとめ：連立不等式の表す領域
さて、今回のまとめだよ！
■ 連立不等式の表す領域
それぞれの不等式の表す領域の共通部分である。
■ AB＞0、AB＜0 型の不等式の表す領域
[1] \(AB>0\ \Leftrightarrow\ (A>0\) かつ \(B>0)\) または \((A<0\) かつ \(B<0)\)
[2] \(AB<0\ \Leftrightarrow\ (A>0\) かつ \(B<0)\) または \((A<0\) かつ \(B>0)\)
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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