【数学Ⅱ】図形と方程式22：領域を利用した証明

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

命題の真偽を領域の包含関係で調べる

「\(p\) ならば \(q\)」という命題が真であることは、集合で考えると、条件 \(p\) を満たすものがすべて条件 \(q\) も満たす、つまり \(P\subset Q\) であることと同じです。

これは数学Ⅰの「集合と命題」で学んだ考え方です。

条件が \(x,\ y\) の不等式のとき、\(P\) と \(Q\) は座標平面上の領域になります。

そこで、2つの領域を図示して、領域Pが領域Qにすっぽり含まれるかを確かめれば、命題が真であることを示せます。

「\(p\Rightarrow q\) が真」 \(\Leftrightarrow\) \({\color{#45A3DA}{P}}\subset {\color{#E9548E}{Q}}\)

円の内部どうしの包含関係で証明する

領域P：\(x^2+y^2<1\) は、原点を中心とする半径 \(1\) の円の内部です。

領域Q：\((x+1)^2+y^2<4\) は、点 \((-1,\ 0)\) を中心とする半径 \(2\) の円の内部です。

どちらも境界線を含みません。

2つの円の中心間の距離は \(1\) で、半径の差 \(2-1=1\) と等しいので、2円は点 \((1,\ 0)\) で内接しています。

接点 \((1,\ 0)\) はどちらの領域にも含まれないので、\(P\) は \(Q\) の内側にすっぽり入ります。

図より \({\color{#45A3DA}{P}}\subset {\color{#E9548E}{Q}}\) が成り立つ。よって　\(x^2+y^2<1\) ならば \((x+1)^2+y^2<4\)

練習問題

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\(x^2+y^2\leq1\) が表す領域を \(P\)、\(x+y\leq\sqrt{2}\) が表す領域を \(Q\) とする。

\(P\) は原点を中心とする半径 \(1\) の円の周および内部、\(Q\) は直線 \(y=-x+\sqrt{2}\) とその下側の部分である。

原点と直線 \(x+y-\sqrt{2}=0\) の距離は \(\frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2+1^2}}=1\) であるから、この直線は円に接する。

よって \(P\subset Q\) が成り立つので　\(x^2+y^2\leq1\) ならば \(x+y\leq\sqrt{2}\)

まとめ：領域を利用した証明