今日の板書はこれ！
■ 連立不等式と2変数関数の最大・最小
- まず領域Dを図示し、最大値と最小値を求める式を f(x, y)＝k とおく
- 領域Dに含まれる実数 (x, y) に対して、k の値が定まる
- 逆にいえば、求める k の値には、対応する実数 (x, y) が存在していなければならない
- 図形的には、f(x, y)＝k と領域Dが共有点をもてば、k に対応する実数 (x, y) が存在する
\(x,\ y\) が4つの不等式 \(x\geq0,\ y\geq0,\ 2x+y\leq8,\ 2x+3y\leq12\) を同時に満たすとき、\(x+y\) の最大値・最小値を求めよ。
▼ 解答
\(x+y=k\) とおくと \(y=-x+k\) …①
直線①が4つの不等式の表す領域と共有点をもつような \(k\) の値の最大値・最小値を求める。
\(y\) 切片 \(k\) は、直線①が点 \((3,\ 2)\) を通るとき最大となり \(k=3+2=5\)
\(y\) 切片 \(k\) は、直線①が点 \((0,\ 0)\) を通るとき最小となり \(k=0+0=0\)
よって \((x,\ y)=(3,\ 2)\) のとき最大値 \(5\)、\((x,\ y)=(0,\ 0)\) のとき最小値 \(0\)
もっと詳しく願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
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最大・最小を「直線の切片」で考える
連立不等式を満たす \(x,\ y\) について、\(x+y\) のような式の最大値・最小値を求める問題では、まず領域を図示します。
次に、調べたい式を \(x+y={\color{#E9548E}{k}}\) とおきます。
領域内の点 \((x,\ y)\) を1つ選ぶと \(k\) の値が1つ決まります。
逆にいえば、\(k\) がある値をとれるのは、\(x+y={\color{#E9548E}{k}}\) を満たす点が領域の中に存在するときだけです。
\(x+y={\color{#E9548E}{k}}\) は直線 \(y=-x+{\color{#E9548E}{k}}\) を表すので、「直線が領域と共有点をもつ」ような \({\color{#E9548E}{k}}\) の範囲を調べればよいことになります。
\({\color{#E9548E}{k}}\) は直線のy切片なので、直線を平行に動かしながら切片の最大・最小を探します。
「式＝k」とおいて直線にし、領域に触れたまま上下に動かす。これがこの問題の考え方だよ！
4つの不等式で表される領域での最大・最小
\(x,\ y\) が4つの不等式 \(x\geq0,\ y\geq0,\ 2x+y\leq8,\ 2x+3y\leq12\) を同時に満たすとき、\(x+y\) の最大値・最小値を求めよ。
まず領域を図示します。
直線 \(2x+y=8\) と \(2x+3y=12\) の交点は、連立して解くと \((3,\ 2)\) です。
領域は、4点 \((0,\ 0),\ (4,\ 0),\ (3,\ 2),\ (0,\ 4)\) を頂点とする四角形の周および内部になります。
\(x+y={\color{#E9548E}{k}}\) とおくと \(y=-x+{\color{#E9548E}{k}}\) で、これは傾き \(-1\)、y切片 \({\color{#E9548E}{k}}\) の直線です。
この直線を、領域と共有点をもつ範囲で上下に動かします。
直線を上に動かしていくと、最後に領域に触れるのは点 \((3,\ 2)\) です。
このとき切片が最大になります。
逆に下に動かすと、最後に触れるのは原点です。
最大：\((3,\ 2)\) を通るとき \(k=3+2={\color{#EE4656}{5}}\)
最小：\((0,\ 0)\) を通るとき \(k=0+0={\color{#EE4656}{0}}\)
領域の辺のうち、\(2x+y=8\) の傾きは \(-2\)、\(2x+3y=12\) の傾きは \(-\frac{2}{3}\) です。
直線 \(y=-x+k\) の傾き \(-1\) は、この2つの傾きの間にあります。そのため、直線を上に動かすと、2辺の交わる頂点 \((3,\ 2)\) で最後に領域と触れます。
直線の傾きと、領域の辺の傾きを比べると、どの頂点で最大になるか分かるんだね！
練習問題
例題について、\(m\) を定数として、\(x+y\) を \(mx+y\) に変更した問題について考えてみよう。
\(x,\ y\) が例題と同じ4つの不等式を同時に満たすとき、\(mx+y\) が \(x=0,\ y=4\) のときに最大値をとるような \(m\) の値を1つ求めよ。
答えを見る
\(mx+y=k\) とおくと \(y=-mx+k\) 傾き \(-m\) の直線である。
点 \((0,\ 4)\) で切片が最大となるのは、傾き \(-m\) が辺 \(2x+3y=12\) の傾き \(-\frac{2}{3}\) 以上のときである。
\(-m\geq-\frac{2}{3}\) より \(m\leq\frac{2}{3}\) よって、例えば \({\color{#EE4656}{m=0}}\)
\(x,\ y\) が4つの不等式 \(x\geq0,\ y\geq0,\ x+3y\leq5,\ 3x+2y\leq8\) を同時に満たすとき、次の式の最大値、最小値を求めよ。
(1) \(x+y\)
(2) \(x-y\)
答えを見る
領域は、4点 \((0,\ 0),\ \left(\frac{8}{3},\ 0\right),\ (2,\ 1),\ \left(0,\ \frac{5}{3}\right)\) を頂点とする四角形の周および内部である。
(1) \(x+y=k\) とおくと \(y=-x+k\)
\((x,\ y)=(2,\ 1)\) のとき最大値 \(3\)、\((x,\ y)=(0,\ 0)\) のとき最小値 \(0\)
(2) \(x-y=k\) とおくと \(y=x-k\) \(y\) 切片 \(-k\) が最小のとき \(k\) は最大となる。
\((x,\ y)=\left(\frac{8}{3},\ 0\right)\) のとき最大値 \(\frac{8}{3}\)、\((x,\ y)=\left(0,\ \frac{5}{3}\right)\) のとき最小値 \(-\frac{5}{3}\)
まとめ：連立不等式と2変数関数の最大・最小
さて、今回のまとめだよ！
■ 連立不等式と2変数関数の最大・最小
- まず領域Dを図示し、最大値と最小値を求める式を f(x, y)＝k とおく
- 領域Dに含まれる実数 (x, y) に対して、k の値が定まる
- 逆にいえば、求める k の値には、対応する実数 (x, y) が存在していなければならない
- 図形的には、f(x, y)＝k と領域Dが共有点をもてば、k に対応する実数 (x, y) が存在する
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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