【数学Ⅱ】図形と方程式17：軌跡の基本

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

軌跡とは？

ある条件を満たしながら動く点が描く図形を、その条件を満たす点の軌跡といいます。

これまでの直線や円と同じく、軌跡も「条件を満たす点の集合」です。

軌跡を求めるときは、まず軌跡上の点を (x, y) とおき、その点が満たす条件を \(x,\ y\) の式で表します。

その式を整理すれば、どんな図形になるかが分かります。

最後に、求めた図形上のすべての点が、本当に条件を満たすかを確かめます。

これを逆の確認といいます。

2点から等距離にある点の軌跡

点Pの座標を (x, y) とします。

距離にはルートがつくので、条件 \(\mathrm{AP}=\mathrm{BP}\) は2乗してから使います。

\(\mathrm{AP}^2=\mathrm{BP}^2\)　より　\(x^2+(y-2)^2=(x-4)^2+y^2\)

展開すると \(x^2\) と \(y^2\) が消え、整理すると次の式になります。

\(2x-y-3=0\)　…①

これで、条件を満たす点 \(\mathrm{P}\) は直線①上にあることが分かりました。

ただし、これだけでは「①上のすべての点が条件を満たすか」はまだ分かりません。

そこで逆を確認します。

①上の点をとると、ここまでの式変形を逆にたどれるので \(\mathrm{AP}^2=\mathrm{BP}^2\)、つまり \(\mathrm{AP}=\mathrm{BP}\) が成り立ちます。

よって求める軌跡は　直線 \(2x-y-3=0\)

距離の比が一定である点の軌跡

点Pの座標を (x, y) とします。

比の条件 \(\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=2:1\) は、\(\mathrm{OP}=2\mathrm{AP}\) と書きかえてから2乗します。

\(\mathrm{OP}^2=4\mathrm{AP}^2\)　より　\(x^2+y^2=4\{(x-3)^2+y^2\}\)

右辺を展開して整理すると \(3x^2+3y^2-24x+36=0\)、両辺を3でわって \(x^2+y^2-8x+12=0\) です。

これを平方完成します。

\((x-4)^2+y^2=2^2\)　…①

条件を満たす点 \(\mathrm{P}\) は円①上にあります。

逆に、①上のすべての点は式変形を逆にたどって条件を満たします。

よって求める軌跡は　中心 \((4,\ 0)\)、半径 \(2\) の円

このように、2点からの距離の比が \(m:n\ (m\neq n)\) である点の軌跡は円になります。

この円をアポロニウスの円といいます。

練習問題

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点 \(\mathrm{P}\) の座標を \((x,\ y)\) とする。

\(\mathrm{AP}:\mathrm{BP}=3:2\) より \(2\mathrm{AP}=3\mathrm{BP}\)　2乗すると \(4\mathrm{AP}^2=9\mathrm{BP}^2\)

\(4\{(x+3)^2+y^2\}=9\{(x-2)^2+y^2\}\)　より　\(x^2+y^2-12x=0\)

すなわち　\((x-6)^2+y^2=6^2\)　…①　逆に、①上のすべての点は条件を満たす。

よって求める軌跡は　中心 \((6,\ 0)\)、半径 \(6\) の円

まとめ：軌跡の基本