今日の板書はこれ！
積分方程式 定積分を含む等式を満たす関数 \(f(x)\) を求める
積分区間に変数 \(x\) を含まないとき、
\(\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a)\)
は定数である。
よって、一旦
\(\int_a^b f(t)\,dt=k\)（定数）
とおき、\(k\) について計算する。
次の等式を満たす関数 \(f(x)\) を求めよ。
\(f(x)=2x+3\int_0^1 f(t)\,dt\)
▼ 解答
\(\int_0^1 f(t)\,dt=k\) とおくと、
\(f(x)=2x+3k\) より \(f(t)=2t+3k\)
よって
\(k=\int_0^1 (2t+3k)\,dt\)
\(=\left[t^2+3kt\right]_0^1\)
\(=1+3k\)
ゆえに \(k=1+3k\) より \(k=-\frac{1}{2}\)
よって
\(f(x)=2x-\frac{3}{2}\)
もっと詳しく願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。
「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。
でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。
意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！
積分方程式とは？
今回は、定積分を含んだ等式から関数 \(f(x)\) を求める「積分方程式」を考えるよ。
方程式なのに、求めるのは \(x\) じゃなくて関数なんですか？
そう！求めたいのは関数 \(f(x)\) そのものなんだ。しかも、その \(f(x)\) が定積分の中にも入っているのがポイントだよ。
例えば、
\(f(x)=2x+3\int_0^1 f(t)\,dt\)
のように、求めたい \(f(x)\) が右辺の定積分の中にも入っている等式を積分方程式といいます。
\(f(x)\) が分からないので、右辺の定積分をそのまま計算することはできません。
そこで、定積分の答えがどんな形になるのかに注目します。
定積分の答えは「数」になる（具体例）
まず、具体的な定積分を計算してみます。
\(\int_0^2 (3t^2+1)\,dt=\left[t^3+t\right]_0^2\)
\(=8+2=10\)
となり、答えはただの数になります。
上端と下端に数を代入するので、文字 \(t\) は残りません。
たしかに、今までの定積分の答えはいつも数でした！
一般化する
\(f(t)\) の不定積分の1つを \(F(t)\) とすると、
\(\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a)\)
となります。
上端 \(b\) と下端 \(a\) が定数なら、\(F(b)-F(a)\) も定数です。
つまり、積分区間に変数 \(x\) を含まない定積分は、中身の \(f(t)\) が分からなくても定数になることが分かります。
だから、分からない定積分は一旦\(k\) とおいてしまおう！\(k\) の値が分かれば、\(f(x)\) も分かるよ。
そういえば、どうして \(f(x)\,dx\) じゃなくて \(f(t)\,dt\) なんですか？
定積分の値は、積分する文字を何にしても同じなんだ。\(x\) のままだと、左辺の \(f(x)\) の \(x\) とまぎらわしいから、\(t\) にかえているんだよ。
例題1：定積分を k とおいて f(x) を求めよう
次の等式を満たす関数 \(f(x)\) を求めよ。
\(f(x)=2x+3\int_0^1 f(t)\,dt\)
考え方
\(\int_0^1 f(t)\,dt\) は、積分区間が \(0\) から \(1\) で \(x\) を含まないから定数だね。まずはこれを \(k\) とおこう！
\(\int_0^1 f(t)\,dt=k\) とおくと、\(f(x)\) を \(k\) を使って表せます。
その \(f(x)\) を使って定積分を計算すると、\(k\) についての方程式ができます。
解いてみよう
\(\int_0^1 f(t)\,dt=k\) とおくと、
\(f(x)=2x+3\color{#EE4656}{k}\)
となります。
文字を \(t\) にかえると、
\(f(t)=2t+3k\)
です。
これを使って \(k\) を計算すると、
\(\color{#EE4656}{k}=\int_0^1 (\color{#45A3DA}{2t+3k})\,dt\)
\(=\left[t^2+3kt\right]_0^1\)
\(=1+3k\)
となります。
\(k\) は定数だから、\(3k\) を積分すると \(3kt\) になるんですね！
よって、\(k\) についての方程式
\(k=1+3k\)
ができるので、これを解くと
\(k=-\frac{1}{2}\)
となります。
したがって、
\(f(x)=2x-\frac{3}{2}\)
です。
答えを確かめよう
求めた \(f(x)\) が、本当にもとの等式を満たすか確かめてみます。
\(\int_0^1 \left(2t-\frac{3}{2}\right)dt\)
\(=\left[t^2-\frac{3}{2}t\right]_0^1\)
\(=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}\)
なので、右辺は
\(2x+3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=2x-\frac{3}{2}\)
となり、左辺の \(f(x)\) と一致します。
ちゃんともとの等式を満たしてる！
練習問題
どちらも積分区間に \(x\) を含まないから、定積分を \(k\) とおくところから始めよう！
次の等式を満たす関数 \(f(x)\) を求めよ。
(1) \(f(x)=4x+2\int_0^2 f(t)\,dt\)
(2) \(f(x)=3x^2+\int_{-1}^1 f(t)\,dt\)
答えを見る
(1) \(\int_0^2 f(t)\,dt=k\) とおくと、
\(f(x)=4x+2k\) より \(f(t)=4t+2k\)
よって
\(k=\int_0^2 (4t+2k)\,dt\)
\(=\left[2t^2+2kt\right]_0^2\)
\(=8+4k\)
ゆえに \(k=8+4k\) より \(k=-\frac{8}{3}\)
よって
\(f(x)=4x-\frac{16}{3}\)
(2) \(\int_{-1}^1 f(t)\,dt=k\) とおくと、
\(f(x)=3x^2+k\) より \(f(t)=3t^2+k\)
よって
\(k=\int_{-1}^1 (3t^2+k)\,dt\)
\(=\left[t^3+kt\right]_{-1}^1\)
\(=(1+k)-(-1-k)\)
\(=2+2k\)
ゆえに \(k=2+2k\) より \(k=-2\)
よって
\(f(x)=3x^2-2\)
まとめ：積分方程式①（定数型）
さて、今回のまとめだよ！
積分方程式 定積分を含む等式を満たす関数 \(f(x)\) を求める
積分区間に変数 \(x\) を含まないとき、
\(\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a)\)
は定数である。
よって、一旦
\(\int_a^b f(t)\,dt=k\)（定数）
とおき、\(k\) について計算する。
また一つ賢くなった！
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