今日の板書はこれ！
大事なのは、グラフを用いて図的に考えることである。方程式の実数解の個数は、図的には「グラフと x 軸（y=0）の共有点の個数」である。
増減表を作ってグラフの概形をかき、x 軸との交点を数えるのが基本の流れである。
方程式 \(x^3-3x-1=0\) の異なる実数解の個数を求めよ。
▼ 解答
\(y=x^3-3x-1\) とおき、そのグラフと x 軸の共有点を調べる。
\(y’=3(x+1)(x-1)\) より、極大値 1（\(x=-1\)）、極小値 -3（\(x=1\)）。
この値をもとにグラフをかくと、曲線は x 軸を 3回 横切る。よって実数解は 3個である。
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現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
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3次方程式の実数解の個数は「グラフの共有点」で考える
3次方程式は、因数分解できなくて解けないことも多いんだ。でも「何個あるか」だけならグラフで読み取れるよ。
解けなくても、個数だけ分かるんですか？
うん。\(y=\)（左辺）のグラフをかいて、x 軸との共有点を数えればいい。共有点の x 座標がそのまま実数解だからね。
ポイントは、グラフを用いて図的に考えることです。
方程式 \(f(x)=0\) の実数解とは、\(y=f(x)\) のグラフが x 軸（\(y=0\)）と交わる点の x 座標のことなので、実数解の個数は、図的には「グラフと x 軸の共有点の個数」になります。
増減表からグラフをかいて数える
コツは、実際にグラフの形をかいてみること。かいた曲線が x 軸と何回交わるかを、目で数えるんだ。
3次関数は、増減表から極大値・極小値と曲線の形（右上がりの S 字）が分かります。
その概形をかいて、x 軸（\(y=0\)）との交点を数えれば、それがそのまま実数解の個数になります。
グラフをかくと、極大値・極小値が x 軸の上にあるか下にあるかがひと目で分かり、曲線が x 軸を何回横切るかが見えてきます。
図で確かめる習慣をつけると、少し形の変わった問題でも自分で考えられるようになります。
増減表を作ったら、そこからグラフまでかいて交点を数えるんですね。
例題：3次方程式の実数解の個数
方程式 \(x^3-3x-1=0\) の異なる実数解の個数を求めよ。
考え方
左辺を \(y\) とおいて、\(y=x^3-3x-1\) のグラフをかき、x 軸との共有点を数えるよ。
\(y=x^3-3x-1\) とおくと、求める実数解の個数は、このグラフと x 軸（\(y=0\)）の共有点の個数に等しくなります。
増減を調べてグラフをかく
\(y’=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x+1)(x-1)\) となります。
\(y’=0\) とすると \(x=-1,\ 1\) となります。
増減表は次のようになります。
| x | ⋯ | −1 | ⋯ | 1 | ⋯ |
| y’ | + | 0 | − | 0 | + |
| y | ↗ | 1 | ↘ | −3 | ↗ |
極大値は 1（\(x=-1\) のとき）、極小値は -3（\(x=1\) のとき）です。
この 2 つの値をもとに、曲線の概形をかきます。
グラフと x 軸の共有点は3個です。
よって、異なる実数解の個数は 3個です。
増減表からグラフをかいて、交点を数えればいいんですね！
練習問題
同じ手順でやってみよう。増減表を作ったら、必ずグラフをかいて交点を数えるのがポイントだよ。（4）は4次だけど、考え方は同じだよ。
方程式 \(2x^3-6x+3=0\) の異なる実数解の個数を求めよ。
答えを見る
\(y=2x^3-6x+3\) とおく。\(y’=6x^2-6=6(x+1)(x-1)\) より \(x=-1,\ 1\)。
| x | ⋯ | −1 | ⋯ | 1 | ⋯ |
| y’ | + | 0 | − | 0 | + |
| y | ↗ | 7 | ↘ | −1 | ↗ |
増減表をもとにグラフをかくと、極大値 7 は x 軸の上、極小値 -1 は x 軸の下にある。曲線は x 軸を 3 回横切るので、実数解は 3個である。
方程式 \(x^3+3x^2+2=0\) の異なる実数解の個数を求めよ。
答えを見る
\(y=x^3+3x^2+2\) とおく。\(y’=3x^2+6x=3x(x+2)\) より \(x=-2,\ 0\)。
| x | ⋯ | −2 | ⋯ | 0 | ⋯ |
| y’ | + | 0 | − | 0 | + |
| y | ↗ | 6 | ↘ | 2 | ↗ |
グラフをかくと、極大値 6 も極小値 2 も x 軸の上にある。曲線は x 軸を 1 回だけ横切るので、実数解は 1個である。
方程式 \(-x^3+3x^2-4=0\) の異なる実数解の個数を求めよ。
答えを見る
\(y=-x^3+3x^2-4\) とおく。\(y’=-3x^2+6x=-3x(x-2)\) より \(x=0,\ 2\)。
\(x^3\) の係数が負なので、増減は次のようになる。
| x | ⋯ | 0 | ⋯ | 2 | ⋯ |
| y’ | − | 0 | + | 0 | − |
| y | ↘ | −4 | ↗ | 0 | ↘ |
グラフをかくと、極大値 0 で曲線が x 軸に接し、極小値 -4 は x 軸の下にある。x 軸と出会うのは 2 点なので、実数解は 2個である。
方程式 \(x^4-8x^2+1=0\) の異なる実数解の個数を求めよ。
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\(y=x^4-8x^2+1\) とおく。\(y’=4x^3-16x=4x(x+2)(x-2)\) より \(x=-2,\ 0,\ 2\)。
| x | ⋯ | −2 | ⋯ | 0 | ⋯ | 2 | ⋯ |
| y’ | − | 0 | + | 0 | − | 0 | + |
| y | ↘ | −15 | ↗ | 1 | ↘ | −15 | ↗ |
グラフをかくと、両側の極小値 -15 は x 軸の下、真ん中の極大値 1 は x 軸の上にある。曲線は x 軸を 4 回横切るので、実数解は 4個である。
まとめ：3次方程式の実数解の個数
さて、今回のまとめだよ！
方程式 \(f(x)=0\) の実数解の個数は、y=f(x) のグラフと x 軸の共有点の個数に等しい。
手順は、増減表で極値を求める → グラフの概形をかく → x 軸との交点を数える。
極値が x 軸の上か下かをグラフで確かめれば、交点の数が見えてくる。
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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