【数学Ⅱ】図形と方程式18：連動点の軌跡

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

連動して動く点の軌跡

ある点 \(\mathrm{Q}\) が図形の上を動き、それにつられて別の点 \(\mathrm{P}\) が動くことがあります。

このような点 \(\mathrm{P}\) の軌跡を求める問題では、2つの点を区別して文字でおくのがポイントです。

1. まず、途中の動点Q を \((s,\ t)\) とおく
2. 次に、軌跡上の動点P を \((x,\ y)\) とおく
3. 最後に、不要な文字 s, t を消去して、x と y の関係式を導く

最終的に知りたいのは \(\mathrm{P}\) の \(x,\ y\) の関係なので、途中で使った \(s,\ t\) は消してしまいます。

そのために、「\(s,\ t\) を \(x,\ y\) で表して、\(\mathrm{Q}\) の条件式に代入する」という手順をとります。

円上を動く点と結ぶ線分の中点の軌跡

点Pを \({\color{#E9548E}{(x,\ y)}}\)、点Qを \({\color{#45A3DA}{(s,\ t)}}\) とおきます。

まず、点 \(\mathrm{Q}\) は円 \(x^2+y^2=4\) 上にあるので、次の式が成り立ちます。

\(s^2+t^2=4\)　…①

次に、点 \(\mathrm{P}\) は線分 \(\mathrm{AQ}\) の中点なので、中点の公式から \(x=\frac{s+4}{2},\ y=\frac{t}{2}\) です。

これを \(s,\ t\) について解きます。

\(s=2x-4,\ t=2y\)

これを①に代入して、s, t を消去します。

\((2x-4)^2+(2y)^2=4\)　より　\((x-2)^2+y^2=1^2\)　…②

条件を満たす点 \(\mathrm{P}\) は円②上にあります。

逆に、②上のすべての点は条件を満たすので、求める軌跡は次のようになります。

中心 \((2,\ 0)\)、半径 \(1\) の円

練習問題

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\(\mathrm{P}(x,\ y),\ \mathrm{Q}(s,\ t)\) とおく。点 \(\mathrm{Q}\) は直線上にあるから　\(t=s+2\)　…①

点 \(\mathrm{P}\) は線分 \(\mathrm{AQ}\) を \(2:1\) に内分するから　\(x=\frac{1+2s}{3},\ y=\frac{6+2t}{3}\)

よって　\(s=\frac{3x-1}{2},\ t=\frac{3y-6}{2}\)

これを①に代入すると　\(\frac{3y-6}{2}=\frac{3x-1}{2}+2\)　より　\(y=x+3\)　…②

逆に、②上のすべての点は条件を満たす。よって求める軌跡は　直線 \(y=x+3\)

まとめ：連動点の軌跡