今日の板書はこれ！
■ 2つの円の共有点の座標
図形における共有点は、連立方程式の実数解である。
次の2つの円の共有点の座標を求めよ。
\(x^2+y^2=5,\ x^2+y^2-6x-2y+5=0\)
▼ 解答
\(x^2+y^2=5\) …① \(x^2+y^2-6x-2y+5=0\) …②
①－② より \(6x+2y-10=0\) すなわち \(y=-3x+5\) …③
③を①に代入すると \(x^2+(-3x+5)^2=5\) より \(x=1,\ 2\)
③に代入すると \(x=1\) のとき \(y=2\)、\(x=2\) のとき \(y=-1\)
よって共有点の座標は \({\color{#EE4656}{(1,\ 2),\ (2,\ -1)}}\)
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現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
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共有点は連立方程式の実数解
2つの図形の共有点とは、両方の図形の上にある点のことです。
つまり、共有点の座標は2つの方程式を同時に満たすので、連立方程式の実数解として求められます。
2つの円の方程式を連立するときは、引き算をして2乗の項を消すのがコツです。
どちらの円の方程式も \(x^2+y^2\) を含んでいるので、引けば1次式が残ります。
2乗の項が消えて直線の式になる。そこから先は「円と直線」の問題と同じだよ！
2つの円の共有点の座標を求める
次の2つの円の共有点の座標を求めよ。
\(x^2+y^2=5,\ x^2+y^2-6x-2y+5=0\)
2つの方程式に番号をつけます。
\({\color{#45A3DA}{x^2+y^2=5}}\) …① \({\color{#E9548E}{x^2+y^2-6x-2y+5=0}}\) …②
①から②を引くと、\(x^2\) と \(y^2\) が消えて1次式になります。
\(6x+2y-10=0\) すなわち \(y=-3x+5\) …③
あとは③を①に代入して、\(x\) の2次方程式を解きます。
\(x^2+(-3x+5)^2=5\)
\(10x^2-30x+20=0\)
\((x-1)(x-2)=0\)
よって \(x=1,\ 2\) です。
③に代入して \(y\) を求めると、\(x=1\) のとき \(y=2\)、\(x=2\) のとき \(y=-1\) となります。
共有点の座標は \({\color{#EE4656}{(1,\ 2),\ (2,\ -1)}}\)
2つの共有点はどちらも①と②を満たすので、①－②でできた③も満たします。
③は直線の方程式なので、2つの共有点を通る直線、つまり2円の交点を結ぶ直線を表しています。
引き算で出てきた直線は、2つの交点を通る直線なんだね！
練習問題
次の2つの円の共有点の座標を求めよ。
\(x^2+y^2=10,\ x^2+y^2-2x-y-5=0\)
答えを見る
\(x^2+y^2=10\) …① \(x^2+y^2-2x-y-5=0\) …②
①－② より \(2x+y-5=0\) すなわち \(y=-2x+5\) …③
③を①に代入すると \(x^2-4x+3=0\) より \(x=1,\ 3\)
③より \(x=1\) のとき \(y=3\)、\(x=3\) のとき \(y=-1\)
よって \({\color{#EE4656}{(1,\ 3),\ (3,\ -1)}}\)
まとめ：2つの円の共有点の座標
さて、今回のまとめだよ！
■ 2つの円の共有点の座標
図形における共有点は、連立方程式の実数解である。
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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