【数学Ⅰ】集合と命題05：命題の真偽と反例

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

「4の倍数かつ6の倍数ならば24の倍数」は正しい？

命題と条件とは？

正しい（真）か正しくない（偽）かが明確に定まる文章や式を命題といいます。

「10000は100より大きい」は正しいので真の命題、「10000は1億より大きい」は正しくないので偽の命題です。

一方、「10000は大きい数である」は、大きいかどうかが人や状況によって変わるので、命題ではありません。

また、「\(x\) は偶数」のように、\(x=2\) なら真、\(x=3\) なら偽と、変数によって真偽が変わる文章や式を条件といいます。

これは「\(x\) に関する条件」です。

仮定と結論

2つの条件 \(p\)，\(q\) を使った「\(p\) ならば \(q\)」という命題を、記号で \(p\Longrightarrow q\) と書きます。

このとき、\(p\) をこの命題の仮定、\(q\) をこの命題の結論といいます。

例題1では、仮定 \(p\) が「自然数 \(n\) が4の倍数かつ6の倍数」、結論 \(q\) が「\(n\) は24の倍数」です。

命題の真偽と反例

命題 \(p\Longrightarrow q\) が真といえるのは、「\(p\) であるとき常に \(q\)」であるときだけです。

逆にいえば、\(p\) であるのに \(q\) でないものが1つでもあれば、その命題は偽です。

このような例を反例といいます。

例題1で、4の倍数かつ6の倍数である自然数を小さい順に調べると、12, 24, 36, … となります。

12は4の倍数でも6の倍数でもありますが、24の倍数ではありません。

つまり \(n=12\) が反例です。

よって、例題1の命題は　偽　です。

命題の真偽と集合

命題の真偽は、集合を使って考えることもできます。

条件 \(p\)，\(q\) を満たすもの全体の集合を、それぞれ \(P\)，\(Q\) とします。

「\(p\) ならば常に \(q\)」とは、\(P\) のすべての要素が \(Q\) の要素になっていることです。

つまり、\(P\) が \(Q\) に完全に含まれている（一致してもよい）ということです。

「\(p\Longrightarrow q\) が真」\(\Leftrightarrow P\subset Q\)

反対に、\(P\) が \(Q\) からはみ出していれば、そのはみ出した部分の要素が反例になり、命題は偽になります。

たとえば、実数 \(x\) について命題「\(x>3\) ならば \(x>1\)」を考えます。

\(P=\{x\mid x>3\}\)，\(Q=\{x\mid x>1\}\) とすると、数直線で \(P\) は \(Q\) にすっぽり含まれるので \(P\subset Q\) です。

よって、この命題は　真　です。

反例を見つけよう

(1) 反例は　\(a=-2\)　です。\(a^2=4>1\) ですが、\(a>1\) ではありません。

(2) 反例は　\(a=-1\)　です。\(\sqrt{(-1)^2}=1\) であり、\(-1\) と等しくありません。

(3) 反例は　\(a=1\)，\(b=-2\)　です。\(a>b\) ですが、\(a^2=1\)，\(b^2=4\) より \(a^2>b^2\) ではありません。

(4) 反例は　\(a=2\)，\(b=4\)　です。\(a^2=4=b\) ですが、\(a\neq b\) です。

(5) 反例は　\(m=1\)，\(n=1\)　です。\(m+n=2\) は偶数ですが、\(m\)，\(n\) は奇数です。

(6) 反例は　\(m=1\)，\(n=1\)　です。\(m+n=2\) は偶数ですが、\(mn=1\) は奇数です。

(7) 反例は　\(x=\sqrt{2}\)，\(y=-\sqrt{2}\)　です。\(x+y=0\)，\(xy=-2\) は有理数ですが、\(x\)，\(y\) は無理数です。

(8) 反例は　\(x=\sqrt{2}\)，\(y=-\sqrt{2}\)　です。\(x+y=0\)，\(xy=-2\) は整数ですが、\(x\)，\(y\) は整数ではありません。

(9) 反例は　等脚台形　です。等脚台形は対角線の長さが等しいが、長方形ではありません。

(10) 反例は　\(x=1\)　です。\(|1|\leq 1\) ですが、\(|1-2|=1\) より \(|x-2|>1\) ではありません。

(1)(2)(3) は負の数、(7)(8) は無理数で反例が見つかります。

「正の数」や「有理数」だけを思い浮かべていると、反例を見落としやすいので注意しましょう。

練習問題

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(1) \((\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=5+2\sqrt{6}\)，\((\sqrt{5})^2=5\) で等しくないから　偽

(2) \((-1)^2=1\geq 0\) であるから　真

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(1) \(P=\{x\mid x\leq 2\}\)，\(Q=\{x\mid x\leq 4\}\) とすると、\(P\subset Q\) であるから　真

(2) \(P=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12\}\)，\(Q=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24\}\) とすると、\(P\subset Q\) であるから　真

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(1) \(n=9\) は奇数であるが、\(9=3\times 3\) より素数ではない。よって偽である。（反例：\(n=9\)）

(2) \(n=2\) は素数であるが、奇数ではない。よって偽である。（反例：\(n=2\)）

まとめ：命題の真偽と反例