今日の板書はこれ！
■ 等差数列
隣り合う項の差が等しい数列を等差数列といい、この差を公差という。公差はふつう \(d\) で表す。
■ 等差数列の一般項
初項 \({\color{#3CB371}{a}}\)、公差 \({\color{#45A3DA}{d}}\) の等差数列 \(\{a_n\}\) の一般項は
\(a_n=a+(n-1)d\)
初項 \(3\)、公差 \(5\) の等差数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。また、第20項を求めよ。
▼ 解答
\(\begin{aligned}a_n&={\color{#3CB371}{3}}+(n-1)\cdot {\color{#45A3DA}{5}}\\[8pt]&={\color{#EE4656}{5n-2}}\end{aligned}\)
\(a_{20}=5\cdot 20-2={\color{#EE4656}{98}}\)
公差が \(-3\)、第5項が \(17\) である等差数列 \(\{a_n\}\) の初項と一般項を求めよ。
▼ 解答
初項を \(a\) とおく。
第5項が \(17\) であるから \(a+(5-1)\cdot({\color{#45A3DA}{-3}})=17\)
\(a-12=17\) より \({\color{#EE4656}{a=29}}\)
\(\begin{aligned}a_n&={\color{#3CB371}{29}}+(n-1)\cdot({\color{#45A3DA}{-3}})\\[8pt]&={\color{#EE4656}{-3n+32}}\end{aligned}\)
第5項が \(-5\)、第10項が \(15\) である等差数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。
▼ 解答
初項を \(a\)、公差を \(d\) とおく。
\(a_5=a+4d=-5\) …①
\(a_{10}=a+9d=15\) …②
②−① より \(5d=20\) よって \({\color{#45A3DA}{d=4}}\)
①に代入して \(a+16=-5\) よって \({\color{#3CB371}{a=-21}}\)
\(\begin{aligned}a_n&={\color{#3CB371}{-21}}+(n-1)\cdot {\color{#45A3DA}{4}}\\[8pt]&={\color{#EE4656}{4n-25}}\end{aligned}\)
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等差数列とは？公差の意味
\(3,\ 8,\ 13,\ 18,\ \cdots\) のように、前の項に同じ数を足して次の項ができる数列を考えます。
このように、隣り合う項の差が等しい数列 を 等差数列 といい、その一定の差を 公差 といいます。
公差はふつう \(d\) で表し、この例では 公差は5 です。
等差数列の一般項 an=a+(n−1)d
まずは数字で考えてみましょう。
初項3、公差5 の等差数列で、第4項は初項に公差を何回足したものでしょうか。
第2項で1回、第3項で2回、第4項で3回足すので、第4項は \({\color{#3CB371}{3}}+3\cdot {\color{#45A3DA}{5}}=18\) となります。
同じように考えると、第 \(n\) 項は初項に公差を \(n-1\) 回足したものになります。
したがって、初項 \(a\)、公差 \(d\) の等差数列の一般項は、次の式で表されます。
\(a_n={\color{#3CB371}{a}}+(n-1){\color{#45A3DA}{d}}\)
図の矢印の数を数えてみよう。項が \(n\) 個並んでいても、矢印は \(n-1\) 本しかないね！
公差を足すのは「ある項から次の項へ進むとき」です。
初項は1回も足していない状態なので、第1項から第 \(n\) 項まで進む回数は \(n-1\) 回になります。
実際に \(n=1\) を代入すると \(a_1=a+0\cdot d=a\) となり、初項に戻ることが確かめられます。
初項と公差から一般項を求める
初項 \(3\)、公差 \(5\) の等差数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。また、第20項を求めよ。
公式 \(a_n={\color{#3CB371}{a}}+(n-1){\color{#45A3DA}{d}}\) に、初項3 と 公差5 を代入します。
\(\begin{aligned}a_n&={\color{#3CB371}{3}}+(n-1)\cdot {\color{#45A3DA}{5}}\\[8pt]&=3+5n-5\\[8pt]&={\color{#EE4656}{5n-2}}\end{aligned}\)
第20項は、一般項の \(n\) に \(20\) を代入して \(a_{20}=5\cdot 20-2={\color{#EE4656}{98}}\) となります。
項の条件から初項と公差を求める
初項や公差が直接与えられていないときは、分からないものを文字でおき、与えられた条件を一般項の式に当てはめて方程式をつくります。
公差と第5項から初項と一般項を求める
公差が \(-3\)、第5項が \(17\) である等差数列 \(\{a_n\}\) の初項と一般項を求めよ。
初項を \(a\) とおくと、第5項は初項に公差を4回足したものなので、\(a+(5-1)\cdot({\color{#45A3DA}{-3}})=17\) が成り立ちます。
これを整理すると \(a-12=17\) となるので、\(a=29\) です。
\(\begin{aligned}a_n&={\color{#3CB371}{29}}+(n-1)\cdot({\color{#45A3DA}{-3}})\\[8pt]&=29-3n+3\\[8pt]&={\color{#EE4656}{-3n+32}}\end{aligned}\)
2つの項から初項と公差を求める
第5項が \(-5\)、第10項が \(15\) である等差数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。
初項と公差の両方が分からないので、初項を \({\color{#3CB371}{a}}\)、公差を \({\color{#45A3DA}{d}}\) とおきます。
第5項と第10項の条件から、次の2つの式が成り立ちます。
\(a_5=a+4d=-5\) …①
\(a_{10}=a+9d=15\) …②
②から①を引くと \(5d=20\) となるので、\(d=4\) です。
これを①に代入すると \(a+16=-5\) となり、\(a=-21\) が求められます。
\(\begin{aligned}a_n&={\color{#3CB371}{-21}}+(n-1)\cdot {\color{#45A3DA}{4}}\\[8pt]&=-21+4n-4\\[8pt]&={\color{#EE4656}{4n-25}}\end{aligned}\)
練習問題
次のような等差数列の初項から第4項までを書け。
(1) 初項 \(1\)、公差 \(5\)
(2) 初項 \(10\)、公差 \(-4\)
答えを見る
(1) \(1,\ 6,\ 11,\ 16\)
(2) \(10,\ 6,\ 2,\ -2\)
次の等差数列の公差を求めよ。また、□に適する数を求めよ。
(1) \(1,\ 5,\ 9,\ □,\ □,\ \cdots\)
(2) \(□,\ 3,\ 0,\ □,\ \cdots\)
答えを見る
(1) 公差は \(4\)、□は順に \(13,\ 17\)
(2) 公差は \(-3\)、□は順に \(6,\ -3\)
次のような等差数列 \(\{a_n\}\) の一般項 \(a_n\) を求めよ。また、第10項を求めよ。
(1) 初項 \(5\)、公差 \(4\)
(2) 初項 \(10\)、公差 \(-5\)
答えを見る
(1) \(a_n=5+(n-1)\cdot 4\) より \(a_n=4n+1,\ a_{10}=41\)
(2) \(a_n=10+(n-1)\cdot(-5)\) より \(a_n=-5n+15,\ a_{10}=-35\)
次のような等差数列 \(\{a_n\}\) の一般項 \(a_n\) を求めよ。
(1) 第4項が \(15\)、第8項が \(27\)
(2) 第5項が \(20\)、第10項が \(0\)
答えを見る
(1) \(a+3d=15,\ a+7d=27\) より \(d=3,\ a=6\) よって \(a_n=3n+3\)
(2) \(a+4d=20,\ a+9d=0\) より \(d=-4,\ a=36\) よって \(a_n=-4n+40\)
まとめ：等差数列の一般項
さて、今回のまとめだよ！
■ 等差数列
隣り合う項の差が等しい数列を等差数列といい、この差を公差という。公差はふつう \(d\) で表す。
■ 等差数列の一般項
初項 \({\color{#3CB371}{a}}\)、公差 \({\color{#45A3DA}{d}}\) の等差数列 \(\{a_n\}\) の一般項は
\(a_n=a+(n-1)d\)
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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