今日の板書はこれ！
■ 恒等式
含まれている文字にどんな値を代入しても、つねに成り立つ等式を恒等式という。
■ 恒等式の性質
両辺の次数が等しく、同じ次数の項の係数もそれぞれ等しい。
[1] 係数比較法
両辺を展開・整理して、同じ次数の項の係数を比べる。
[2] 数値代入法
どんな値を代入しても成り立つことを利用して、文字の個数だけ値を代入する。求めた値で恒等式になることを必ず確かめる。
次の等式のうち、\(x\) についての恒等式はどれか。
① \((x-1)(x-2)=0\)
② \((x-1)(x-2)=x^2-3x+2\)
③ \((x+2)(x-3)=x^2-x-6\)
④ \(x(x-2)=x\)
▼ 解答
②、③は左辺を展開すると右辺と一致するので恒等式である。①は \(x=1,2\) のとき、④は \(x=0,3\) のときしか成り立たないので方程式である。
②，③
等式 \(x^2+1=a(x+2)^2+b(x+2)+c\) が \(x\) についての恒等式となるように、定数 \(a\)，\(b\)，\(c\) の値を定めよ。
▼ 解答
【係数比較法】
右辺を展開して整理すると
（右辺）\({\begin{aligned}[t]&=a(x^2+4x+4)+bx+2b+c\\[6pt]&=ax^2+(4a+b)x+(4a+2b+c)\end{aligned}}\)
両辺の係数を比較して \(a=1\)，\(4a+b=0\)，\(4a+2b+c=1\)
\(a=1,\ b=-4,\ c=5\)
【数値代入法】
両辺に \(x=-2,\ -1,\ -3\) を代入すると
\(5=c\)，\(2=a+b+c\)，\(10=a-b+c\)
これを解くと \(a=1,\ b=-4,\ c=5\)
逆にこのとき
（右辺）\({\begin{aligned}[t]&=(x+2)^2-4(x+2)+5\\[6pt]&=x^2+1\end{aligned}}\)
となり、恒等式である。
\(a=1,\ b=-4,\ c=5\)
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恒等式とは
等式には、方程式と恒等式の2種類があります。
たとえば \(x^2-3x+2=0\) は、\(x=1\) や \(x=2\) を代入すると成り立ちますが、\(x=0\) を代入すると左辺が \(2\) になるので成り立ちません。
このように、特定の \(x\) の値でだけ成り立つ等式を方程式といいます。
一方、\((x-1)(x-2)=x^2-3x+2\) は、\(x=0\) を代入すると両辺とも \(2\)、\(x=3\) を代入しても両辺とも \(2\) になり、どんな値を代入しても成り立ちます。
このように、\(x\) にどんな値を代入しても成り立つ等式を恒等式といいます。
展開や因数分解などの式変形で得られる等式は、すべて恒等式です。
また、恒等式は両辺が同じ式なので、両辺の次数が等しく、同じ次数の項の係数もそれぞれ等しくなります。
恒等式かどうかを見分ける
次の等式のうち、\(x\) についての恒等式はどれか。
① \((x-1)(x-2)=0\)
② \((x-1)(x-2)=x^2-3x+2\)
③ \((x+2)(x-3)=x^2-x-6\)
④ \(x(x-2)=x\)
②、③は左辺を展開すると右辺と一致するので恒等式である。①は \(x=1,2\) のとき、④は \(x=0,3\) のときしか成り立たないので方程式である。
②，③
迷ったら、片方の辺を展開してもう片方と同じ式になるかを確かめよう！
恒等式の未定係数の決定
恒等式の中に分からない係数があるとき、恒等式の性質を使ってその値を決められます。
方法は2つあります。
- 係数比較法：両辺を整理して、同じ次数の項の係数が等しいことを使う。
- 数値代入法：どんな値を代入しても成り立つことを使い、計算しやすい値を代入する。
係数比較法と数値代入法でa，b，cを求める
等式 \(x^2+1=a(x+2)^2+b(x+2)+c\) が \(x\) についての恒等式となるように、定数 \(a\)，\(b\)，\(c\) の値を定めよ。
係数比較法では、右辺を展開して \(x\) について整理し、左辺の \(x^2+0\cdot x+1\) と次数ごとに比べます。
右辺を展開して整理すると
（右辺）\({\begin{aligned}[t]&=a(x^2+4x+4)+bx+2b+c\\[6pt]&={\color{#E9548E}{a}}x^2+{\color{#45A3DA}{(4a+b)}}x+{\color{#3CB371}{(4a+2b+c)}}\end{aligned}}\)
左辺 \(x^2+0\cdot x+1\) と同じ次数の係数を比べると
x²の係数 \({\color{#E9548E}{a=1}}\) xの係数 \({\color{#45A3DA}{4a+b=0}}\) 定数項 \({\color{#3CB371}{4a+2b+c=1}}\)
これを解くと \(a=1,\ b=-4,\ c=5\)
数値代入法では、文字が3つあるので式も3つ必要です。
\(x+2=0\) となる \(x=-2\) を代入すると、\(a\) と \(b\) の項が消えてすぐに \(c\) が分かります。
\({\color{#F39800}{x=-2}}\) を代入すると \(5=c\)
\({\color{#F39800}{x=-1}}\) を代入すると \(2=a+b+c\)
\({\color{#F39800}{x=-3}}\) を代入すると \(10=a-b+c\)
これを解くと \(a=1,\ b=-4,\ c=5\)
逆にこのとき
（右辺）\({\begin{aligned}[t]&=(x+2)^2-4(x+2)+5\\[6pt]&=x^2+1\end{aligned}}\)
となり、恒等式になっています。
数値代入法で得られる条件は、「3つの値で成り立つ」という必要条件にすぎません。
すべての \(x\) で成り立つことを、最後に必ず確かめます。
数値代入法は「逆に」の確認を忘れずに！
練習問題
次の等式のうち、\(x\) についての恒等式はどれか。
① \((x+1)(x-1)=x^2-1\)
② \(x(x-1)+x=2x\)
③ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{2}{2x+1}\)
④ \(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}=\frac{2}{x(x+2)}\)
答えを見る
① 左辺を展開すると \(x^2-1\) となり、恒等式である。
② 左辺 \(=x^2\) となり、右辺 \(2x\) と一致しない。
③ 左辺 \(=\frac{2x+1}{x(x+1)}\) となり、右辺と一致しない。
④ （左辺）\({\begin{aligned}[t]&=\frac{(x+2)-x}{x(x+2)}\\[6pt]&=\frac{2}{x(x+2)}\end{aligned}}\)
となり、恒等式である。
①，④
次の等式が恒等式になるように、□に入る式を1つ答えよ。
\(x^2+2x+5=\square\)
答えを見る
左辺を変形すると \(x^2+2x+5=(x+1)^2+4\) となる。
（例）\((x+1)^2+4\)
等式 \(2x^2-7x+8=(x-3)(ax+b)+c\) が \(x\) についての恒等式となるように、定数 \(a\)，\(b\)，\(c\) の値を定めよ。
答えを見る
右辺 \(=ax^2+(b-3a)x+(c-3b)\)
両辺の係数を比較して \(a=2\)，\(b-3a=-7\)，\(c-3b=8\)
\(a=2,\ b=-1,\ c=5\)
まとめ：恒等式
さて、今回のまとめだよ！
■ 恒等式
含まれている文字にどんな値を代入しても、つねに成り立つ等式を恒等式という。
■ 恒等式の性質
両辺の次数が等しく、同じ次数の項の係数もそれぞれ等しい。
[1] 係数比較法
両辺を展開・整理して、同じ次数の項の係数を比べる。
[2] 数値代入法
どんな値を代入しても成り立つことを利用して、文字の個数だけ値を代入する。求めた値で恒等式になることを必ず確かめる。
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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