今日の板書はこれ！
■ Σの性質（\(\sum\) は単なる和）
[1] 定数 \(p\) は \(\sum\) の前に出すことができる
\(\sum\limits_{k=1}^{n}pa_k=p\sum\limits_{k=1}^{n}a_k\)
[2] 和（差）は分割することができる
\(\sum\limits_{k=1}^{n}(a_k\pm b_k)=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k\pm\sum\limits_{k=1}^{n}b_k\)
次の和を求めよ。
\(\sum\limits_{k=1}^{n}(k^2-3k+2)\)
▼ 解答
\(\begin{aligned}&\sum\limits_{k=1}^{n}(k^2-3k+2)\\[8pt]&=\sum\limits_{k=1}^{n}k^2-3\sum\limits_{k=1}^{n}k+\sum\limits_{k=1}^{n}2\\[8pt]&=\tfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-3\cdot\tfrac{1}{2}n(n+1)+2n\\[8pt]&=\tfrac{1}{6}n\{(n+1)(2n+1)-9(n+1)+12\}\\[8pt]&=\tfrac{1}{6}n(2n^2-6n+4)\\[8pt]&={\color{#EE4656}{\tfrac{1}{3}n(n-1)(n-2)}}\end{aligned}\)
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定数はΣの前に出せる
\(\sum\limits_{k=1}^{3}5k\) を書き出すと \(5\cdot 1+5\cdot 2+5\cdot 3\) となります。
どの項にも \(5\) が掛かっているので、\(5(1+2+3)\) とくくることができ、\(5\sum\limits_{k=1}^{3}k\) と同じです。
一般に、定数 \(p\) はすべての項に共通して掛かっているので、\(\sum\) の前に出すことができます。
\(\sum\limits_{k=1}^{n}{\color{#3CB371}{p}}a_k={\color{#3CB371}{p}}\sum\limits_{k=1}^{n}a_k\)
和（差）は分けて計算できる
\(a_k\) と \(b_k\) を積み上げた棒を考えます。
棒をすべて足した高さの合計は、青の部分だけの合計と、ピンクの部分だけの合計を足したものに等しくなります。
図では、青の合計が \(2+3+4+5+6=20\)、ピンクの合計が \(1+4+2+5+3=15\) で、棒全体の合計 \(35\) と一致しています。
足す順番を変えても和は変わらないので、次の性質が成り立ちます。
\(\sum\limits_{k=1}^{n}({\color{#45A3DA}{a_k}}\pm {\color{#E9548E}{b_k}})=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k\pm\sum\limits_{k=1}^{n}b_k\)
Σは単なる和だから、「くくり出す」「分けて足す」という、ふつうの足し算でやっていることがそのまま使えるんだね！
\(\sum\limits_{k=1}^{n}a_kb_k\) は \(\sum\limits_{k=1}^{n}a_k\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}b_k\) とは等しくありません。
たとえば \(1\cdot 1+2\cdot 2=5\) ですが、\((1+2)(1+2)=9\) です。
積の形は、展開して和の形にしてから分けます。
性質と公式を使って和を求める
次の和を求めよ。
\(\sum\limits_{k=1}^{n}(k^2-3k+2)\)
まず、性質を使って \(\sum\) を3つに分け、定数を前に出します。
そのあと、それぞれに和の公式を当てはめます。
\(\begin{aligned}&\sum\limits_{k=1}^{n}(k^2-3k+2)\\[8pt]&=\sum\limits_{k=1}^{n}k^2-3\sum\limits_{k=1}^{n}k+\sum\limits_{k=1}^{n}2\\[8pt]&=\tfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\tfrac{3}{2}n(n+1)+2n\end{aligned}\)
ここで、すぐに展開せずに、分数と共通因数 \(\frac{1}{6}n\) でくくる のがコツです。
こうすると、かっこの中の計算が楽になり、最後に因数分解もしやすくなります。
\(\begin{aligned}&=\tfrac{1}{6}n\{(n+1)(2n+1)-9(n+1)+12\}\\[8pt]&=\tfrac{1}{6}n(2n^2+3n+1-9n-9+12)\\[8pt]&=\tfrac{1}{6}n(2n^2-6n+4)\\[8pt]&=\tfrac{1}{3}n(n^2-3n+2)\\[8pt]&={\color{#EE4656}{\tfrac{1}{3}n(n-1)(n-2)}}\end{aligned}\)
\(\frac{3}{2}\) を \(\frac{1}{6}\) でくくると \(9\)、\(2n\) を \(\frac{1}{6}n\) でくくると \(12\) になるよ。分母を6にそろえるイメージだね！
練習問題
次の和を求めよ。
(1) \(\sum\limits_{k=1}^{n}(4k-5)\)
(2) \(\sum\limits_{k=1}^{n}(3k^2-7k+4)\)
(3) \(\sum\limits_{k=1}^{n}(k^3+k)\)
(4) \(\sum\limits_{k=1}^{n-1}2k^3\)
答えを見る
(1) \(4\cdot\frac{1}{2}n(n+1)-5n=\) \(n(2n-3)\)
(2) \(\frac{1}{2}n\{(n+1)(2n+1)-7(n+1)+8\}=\frac{1}{2}n(2n^2-4n+2)=\) \(n(n-1)^2\)
(3) \(\frac{1}{4}n^2(n+1)^2+\frac{1}{2}n(n+1)=\) \(\frac{1}{4}n(n+1)(n^2+n+2)\)
(4) \(2\left\{\frac{1}{2}(n-1)n\right\}^2=\) \(\frac{1}{2}n^2(n-1)^2\)
次の問いに答えよ。
(1) 数列 \(1\cdot 3,\ 2\cdot 4,\ 3\cdot 5,\ \cdots,\ n(n+2)\) の第 \(k\) 項を \(k\) の式で表せ。
(2) 和 \(1\cdot 3+2\cdot 4+3\cdot 5+\cdots+n(n+2)\) を求めよ。
答えを見る
(1) \(k(k+2)\)
(2) \(\sum\limits_{k=1}^{n}(k^2+2k)=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+n(n+1)=\) \(\frac{1}{6}n(n+1)(2n+7)\)
次の和を求めよ。
\(1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 3\cdot 4+3\cdot 4\cdot 5+\cdots+n(n+1)(n+2)\)
答えを見る
第 \(k\) 項は \(k(k+1)(k+2)=k^3+3k^2+2k\)
\(\frac{1}{4}n^2(n+1)^2+\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)+n(n+1)=\frac{1}{4}n(n+1)(n^2+5n+6)\)
よって \(\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)\)
まとめ：Σの性質
さて、今回のまとめだよ！
■ Σの性質（\(\sum\) は単なる和）
[1] 定数 \(p\) は \(\sum\) の前に出すことができる
\(\sum\limits_{k=1}^{n}pa_k=p\sum\limits_{k=1}^{n}a_k\)
[2] 和（差）は分割することができる
\(\sum\limits_{k=1}^{n}(a_k\pm b_k)=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k\pm\sum\limits_{k=1}^{n}b_k\)
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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