【数学Ⅱ】式と証明08：等式の証明

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

等式 A＝B を証明する3つの方法

恒等式であることを示すことを、等式の証明といいます。

等式 \(A=B\) を証明するには、次の3つの方法があります。

1. \(A\) か \(B\) の複雑な方を変形して、他方を導く。
2. \(A\)，\(B\) をそれぞれ変形して、同じ式を導く。
3. \(A-B=0\) を示す。

どれを使うかは、式の形を見て決めます。

片方だけが複雑なら[1]、両方とも複雑なら[2]か[3]が向いています。

[3]は「\(=0\)」という分かりやすい目標に向かって変形できるので、迷ったときにも使えます。

右辺を変形して左辺を導く

左辺は \(a^3+b^3\) で簡単、右辺が複雑なので、[1]の方法で右辺を変形します。

よって、（右辺）\(=\)（左辺）となり、与えられた等式は成り立つ。

ここでよくある間違いが、証明したい等式をそのまま書き始めてしまうことです。

\(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=\cdots\)　（×）

この書き方では、まだ成り立つと分かっていない等式を、成り立つものとして使ったことになってしまいます。

必ず「左辺＝」「右辺＝」のように、片方の辺から書き始めましょう。

両辺を変形して同じ式を導く

今度は両辺とも複雑なので、[2]の方法で左辺と右辺をそれぞれ展開します。

よって、与えられた等式は成り立つ。

[3]の方法で、左辺から右辺を引いて \(0\) になることを示してもかまいません。

よって、与えられた等式は成り立つ。

練習問題

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(1)

（右辺）\({\begin{aligned}[t]&=\{(a^2+1)+a\}\{(a^2+1)-a\}\\[6pt]&=(a^2+1)^2-a^2\\[6pt]&=a^4+2a^2+1-a^2\\[6pt]&=a^4+a^2+1\end{aligned}}\)

よって、（右辺）\(=\)（左辺）となり、与えられた等式は成り立つ。

(2)

（左辺）\({\begin{aligned}[t]&=1+3x+3x^2+x^3\end{aligned}}\)

（右辺）\({\begin{aligned}[t]&=1+x+(x+x^2)+(x+2x^2+x^3)\\[6pt]&=1+3x+3x^2+x^3\end{aligned}}\)

よって、与えられた等式は成り立つ。

まとめ：等式の証明