【数学Ⅱ】式と証明03：二項定理

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

二項定理とは

\(({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}})^2\) や \(({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}})^3\) の展開公式を、\(n\) 乗まで一般化したものが二項定理です。

二項定理の公式

各項の前についている \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) を二項係数といい、\({}_{n}\mathrm{C}_{r}\,{\color{#E9548E}{a}}^{n-r}{\color{#45A3DA}{b}}^r\) を一般項といいます。

なぜ \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) が出てくるのかを、\(n=3\) で確かめます。

\(({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}})^3=({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}})({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}})({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}})\) を展開するとは、3つのかっこから \({\color{#E9548E}{a}}\) か \({\color{#45A3DA}{b}}\) を1つずつ選んで掛けることでした。

\({\color{#E9548E}{a}}^2{\color{#45A3DA}{b}}\) になるのは、3つのかっこのうちどれから \({\color{#45A3DA}{b}}\) を選ぶかで決まるので \({}_{3}\mathrm{C}_{1}=3\) 通りです。

同じように数えると次のようになります。

\(({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}})^3={}_{3}\mathrm{C}_{0}{\color{#E9548E}{a}}^3+{}_{3}\mathrm{C}_{1}{\color{#E9548E}{a}}^2{\color{#45A3DA}{b}}+{}_{3}\mathrm{C}_{2}{\color{#E9548E}{a}}{\color{#45A3DA}{b}}^2+{}_{3}\mathrm{C}_{3}{\color{#45A3DA}{b}}^3\)

\(={\color{#E9548E}{a}}^3+3{\color{#E9548E}{a}}^2{\color{#45A3DA}{b}}+3{\color{#E9548E}{a}}{\color{#45A3DA}{b}}^2+{\color{#45A3DA}{b}}^3\)

かっこが \(n\) 個のときも同じで、\(n\) 個のかっこから \({\color{#45A3DA}{b}}\) を \(r\) 個選ぶ選び方が \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) 通りあるので、\({\color{#E9548E}{a}}^{n-r}{\color{#45A3DA}{b}}^r\) の係数は \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) になります。

(x−2)⁵を展開する

5つのかっこ \((x-2)(x-2)\cdots(x-2)\) から、\(x\) か \(-2\) を1つずつ選んで掛けます。

\(-2\) を \(r\) 個選ぶと \(x\) は残りの \(5-r\) 個なので、項は \(x^{5-r}(-2)^r\) となり、その選び方は \({}_{5}\mathrm{C}_{r}\) 通りです。

\(-2\) をかたまりのまま計算すると、符号が \(+\)、\(-\) と交互に並ぶことも自然に出てきます。

特定の項の係数を求める

展開式の全部の項を書かなくても、一般項を使えば、ほしい項の係数だけを求められます。

(2x−1)⁵のx²の係数を求める

一般項を、数の部分と \(x\) の部分に分けて書き、\(x\) の指数に注目します。

\(x^2\) の項になるのは、\(5-r=2\) より　\(r=3\)　のときである。

(a+b+c)⁷のa³b²c²の係数を求める

項が3つになっても考え方は同じです。

7個のかっこから、\(a\) を3個、\(b\) を2個、\(c\) を2個選ぶ選び方の数が係数になります。

7個から \(a\) を3個選ぶ選び方は \({}_{7}\mathrm{C}_{3}=35\) 通りです。

残りの4個から \(b\) を2個選ぶ選び方は \({}_{4}\mathrm{C}_{2}=6\) 通りで、残りの2個は自動的に \(c\) になります。

\({}_{7}\mathrm{C}_{3}\times {}_{4}\mathrm{C}_{2}=35\times 6\)

\(=210\)

二項係数の和の等式

二項係数の和についての等式は、\((1+x)^n\) の展開式をもとに考えるのが基本です。

\(x\) にうまい値を代入すると、二項係数だけが残ります。

二項係数の和が2ⁿになることを示す

二項定理で \(a=1\)，\(b=x\) とすると、\((1+x)^n\) の展開式が得られます。

この両辺に \(x=1\) を代入します。

①の両辺に \(x=1\) を代入すると

よって　\({}_{n}\mathrm{C}_{0}+{}_{n}\mathrm{C}_{1}+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{n}=2^n\)

練習問題

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(1)　\((x+1)^4={}_{4}\mathrm{C}_{0}x^4+{}_{4}\mathrm{C}_{1}x^3+{}_{4}\mathrm{C}_{2}x^2+{}_{4}\mathrm{C}_{3}x+{}_{4}\mathrm{C}_{4}\)

\(=x^4+4x^3+6x^2+4x+1\)

(2)

\({(x-2)^6={}_{6}\mathrm{C}_{0}x^6+{}_{6}\mathrm{C}_{1}x^5(-2)+{}_{6}\mathrm{C}_{2}x^4(-2)^2+{}_{6}\mathrm{C}_{3}x^3(-2)^3+{}_{6}\mathrm{C}_{4}x^2(-2)^4+{}_{6}\mathrm{C}_{5}x(-2)^5+{}_{6}\mathrm{C}_{6}(-2)^6}\)

\({{\color{#EE4656}{=x^6-12x^5+60x^4-160x^3+240x^2-192x+64}}}\)

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(1)　一般項は \({}_{4}\mathrm{C}_{r}(2x)^{4-r}3^r\) で、\(x^3\) の項は \(r=1\) のときである。

\({}_{4}\mathrm{C}_{1}\cdot 2^3\cdot 3=4\cdot 8\cdot 3\)

\(=96\)

(2)　一般項は \({}_{6}\mathrm{C}_{r}x^{6-r}(-2y)^r\) で、\(x^3y^3\) の項は \(r=3\) のときである。

\({}_{6}\mathrm{C}_{3}\cdot(-2)^3=20\cdot(-8)\)

\(=-160\)

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(1)　\({}_{6}\mathrm{C}_{3}\times {}_{3}\mathrm{C}_{1}=20\times 3\)

\(=60\)

(2)　\({}_{6}\mathrm{C}_{2}\times {}_{4}\mathrm{C}_{2}=15\times 6\)

\(=90\)

(3)　\(c\) を選ばないので　\({}_{6}\mathrm{C}_{2}\times {}_{4}\mathrm{C}_{4}=15\times 1\)

\(=15\)

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\((a+b)^4\) の係数は \(1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1\) である。隣り合う2数の和をとると

\(1+4=5\)，\(4+6=10\)，\(6+4=10\)，\(4+1=5\)

順に　5，10，10，5

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①の両辺に \(x=-1\) を代入すると

\((1-1)^n={}_{n}\mathrm{C}_{0}-{}_{n}\mathrm{C}_{1}+{}_{n}\mathrm{C}_{2}-\cdots+(-1)^n{}_{n}\mathrm{C}_{n}\)

左辺は \(0^n=0\) である。

よって　\({}_{n}\mathrm{C}_{0}-{}_{n}\mathrm{C}_{1}+{}_{n}\mathrm{C}_{2}-\cdots+(-1)^n{}_{n}\mathrm{C}_{n}=0\)

まとめ：二項定理