今日の板書はこれ！
■ 相加平均と相乗平均
2数 \(a\)，\(b\) の相加平均は \(\frac{a+b}{2}\)，相乗平均は \(\sqrt{ab}\)
\(a>0\)，\(b>0\) のとき \(\frac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}\) （等号は \(a=b\) のとき）
実際には \(a+b\geqq 2\sqrt{ab}\) の形で使うことが多い。
\(a>0\) のとき、不等式 \(a+\frac{1}{a}\geqq 2\) を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。
▼ 解答
\(a>0\)，\(\frac{1}{a}>0\) であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より
\({a+\frac{1}{a}\geqq 2\sqrt{a\cdot\frac{1}{a}}=2}\)
よって \(a+\frac{1}{a}\geqq 2\)
等号が成り立つのは \(a=\frac{1}{a}\) かつ \(a>0\) すなわち \(a^2=1\)，\(a>0\) より \(a=1\) のときである。
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相加平均と相乗平均とは
2つの数 \(a\)，\(b\) について、\(\frac{a+b}{2}\) を相加平均、\(\sqrt{ab}\) を相乗平均といいます。
相加平均はふつうの平均、相乗平均は「掛けて平方根をとる」平均です。
たとえば \(a=2\)，\(b=8\) のとき、相加平均は \(\frac{2+8}{2}=5\)，相乗平均は \(\sqrt{2\cdot 8}=4\) で、相加平均の方が大きくなります。
実は、正の数ならいつでもこの関係が成り立ちます。
\(a>0\)，\(b>0\) のとき \(\frac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}\) （等号は \(a=b\) のとき）
両辺を2倍した \(a+b\geqq 2\sqrt{ab}\) の形で使うことが多いです。
2乗の差を調べると、次のように証明できます。
\({\begin{aligned}\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-(\sqrt{ab})^2&=\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab\\[6pt]&=\frac{a^2-2ab+b^2}{4}\\[6pt]&=\frac{(a-b)^2}{4}\geqq 0\end{aligned}}\)
ゆえに \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\geqq(\sqrt{ab})^2\)
ここで、\(\frac{a+b}{2}>0\)，\(\sqrt{ab}>0\) であるから \(\frac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}\)
等号が成り立つのは \(a-b=0\) すなわち \(a=b\) のときである。
相加平均と相乗平均の大小関係を使って証明する
\(a>0\) のとき、不等式 \(a+\frac{1}{a}\geqq 2\) を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。
\(a\) と \(\frac{1}{a}\) は掛けると \(1\) になるので、相乗平均の根号がきれいにはずれます。
\(a+\frac{1}{a}\) や \(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\) のように、掛けると定数になる2数の和が出てきたら、この関係を使う目安です。
\(a>0\)，\(\frac{1}{a}>0\) であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より
\({a+\frac{1}{a}\geqq 2\sqrt{a\cdot\frac{1}{a}}=2}\)
よって \(a+\frac{1}{a}\geqq 2\)
等号が成り立つのは \(a=\frac{1}{a}\) かつ \(a>0\) すなわち \(a^2=1\)，\(a>0\) より \(a=1\) のときである。
正の数であることを確かめてから使おうね！
練習問題
\(a>0\)，\(b>0\) のとき、次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。
(1) \(a+\frac{4}{a}\geqq 4\)
(2) \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqq 2\)
答えを見る
(1)
\(a>0\)，\(\frac{4}{a}>0\) であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より
\({a+\frac{4}{a}\geqq 2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}=4}\)
よって \(a+\frac{4}{a}\geqq 4\)
等号が成り立つのは \(a=\frac{4}{a}\) かつ \(a>0\) すなわち \(a=2\) のときである。
(2)
\(\frac{a}{b}>0\)，\(\frac{b}{a}>0\) であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より
\({\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqq 2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2}\)
よって \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqq 2\)
等号が成り立つのは \(\frac{a}{b}=\frac{b}{a}\) すなわち \(a^2=b^2\)，\(a>0\)，\(b>0\) より \(a=b\) のときである。
まとめ：相加平均と相乗平均
さて、今回のまとめだよ！
■ 相加平均と相乗平均
2数 \(a\)，\(b\) の相加平均は \(\frac{a+b}{2}\)，相乗平均は \(\sqrt{ab}\)
\(a>0\)，\(b>0\) のとき \(\frac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}\) （等号は \(a=b\) のとき）
実際には \(a+b\geqq 2\sqrt{ab}\) の形で使うことが多い。
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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