今日の板書はこれ！
■ 不等式 A＞B の証明
\(A-B>0\) を示すのが基本。
- （正）＋（正）＝（正）
- （正）×（正）＝（正）
■ 2次の不等式の証明
平方完成して、\((\ \ )^2\geqq 0\) を利用して \(A-B\geqq 0\) を示す。
■ 等号が成り立つとき
\(A\)，\(B\) が実数のとき \(A^2+B^2=0\ \Leftrightarrow\ A=B=0\)
■ 根号・絶対値を含む不等式
\(A\geqq 0\)，\(B\geqq 0\) のとき \(A\geqq B\ \Leftrightarrow\ A^2\geqq B^2\)
両辺が0以上なら、2乗して大小を比べてよい。
■ 絶対値の性質
\(|A|^2=A^2\) \(|A|\geqq A\) \(|A|\geqq -A\)
\(a>b\) かつ \(c>d\) のとき、不等式 \(a+c>b+d\) を証明せよ。
▼ 解答
\((a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)\)
ここで、\(a>b\)，\(c>d\) より \(a-b>0\)，\(c-d>0\)
ゆえに \((a+c)-(b+d)>0\)
よって \(a+c>b+d\)
\(x>1\)，\(y>1\) のとき、不等式 \(xy+1>x+y\) を証明せよ。
▼ 解答
\({\begin{aligned}(xy+1)-(x+y)&=xy-x-y+1\\[6pt]&=x(y-1)-(y-1)\\[6pt]&=(x-1)(y-1)\end{aligned}}\)
ここで、\(x>1\)，\(y>1\) より \(x-1>0\)，\(y-1>0\)
ゆえに \((xy+1)-(x+y)>0\)
よって \(xy+1>x+y\)
不等式 \(x^2+5y^2\geqq 4xy\) を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。
▼ 解答
\({\begin{aligned}(x^2+5y^2)-4xy&=x^2-4xy+5y^2\\[6pt]&=(x-2y)^2-4y^2+5y^2\\[6pt]&=(x-2y)^2+y^2\geqq 0\end{aligned}}\)
よって \(x^2+5y^2\geqq 4xy\)
等号が成り立つのは \(x-2y=0\) かつ \(y=0\) すなわち \(x=y=0\) のときである。
\(a>0\)，\(b>0\) のとき、不等式 \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}\) を証明せよ。
▼ 解答
（左辺）²−（右辺）²\({\begin{aligned}[t]&=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-(\sqrt{a+b})^2\\[6pt]&=(a+2\sqrt{ab}+b)-(a+b)\\[6pt]&=2\sqrt{ab}>0\end{aligned}}\)
ゆえに \((\sqrt{a}+\sqrt{b})^2>(\sqrt{a+b})^2\)
ここで、\(\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\)，\(\sqrt{a+b}>0\) であるから \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}\)
不等式 \(|a|+|b|\geqq|a+b|\) を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。
▼ 解答
（左辺）²−（右辺）²\({\begin{aligned}[t]&=(|a|+|b|)^2-|a+b|^2\\[6pt]&=|a|^2+2|a||b|+|b|^2-(a+b)^2\\[6pt]&=a^2+2|ab|+b^2-(a^2+2ab+b^2)\\[6pt]&=2(|ab|-ab)\geqq 0\end{aligned}}\)
ゆえに \((|a|+|b|)^2\geqq|a+b|^2\)
ここで、\(|a|+|b|\geqq 0\)，\(|a+b|\geqq 0\) であるから \(|a|+|b|\geqq|a+b|\)
等号が成り立つのは \(|ab|=ab\) すなわち \(ab\geqq 0\) のときである。
もっと詳しく願いします！！
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不等式 A＞B の証明の基本
不等式 \(A>B\) を証明するときは、\(A-B>0\) を示すのが基本です。
「大きい方から小さい方を引くと正になる」ことを示せばよいので、等式の証明の [3] と同じように、目標がはっきりしています。
\(A-B\) が正であることを示すには、\(A-B\) を正だと分かっている式の和や積の形に変形します。
（正）＋（正）や（正）×（正）は正になるからです。
差を正の式の和に変形する
\(a>b\) かつ \(c>d\) のとき、不等式 \(a+c>b+d\) を証明せよ。
\((a+c)-(b+d)\) を、条件から正と分かる \(a-b\) と \(c-d\) の和に組みかえます。
\((a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)\)
ここで、\(a>b\)，\(c>d\) より \(a-b>0\)，\(c-d>0\)
ゆえに \((a+c)-(b+d)>0\)
よって \(a+c>b+d\)
いきなり「\((a+c)-(b+d)>0\)」と書き始めてはいけません。
これは証明したいことそのものなので、まず差を計算し、その符号を調べる順に書きます。
等式の証明と同じで、示したい式から書き始めないでね！
差を正の式の積に変形する
\(x>1\)，\(y>1\) のとき、不等式 \(xy+1>x+y\) を証明せよ。
今度は差を因数分解して、正の式の積の形にします。
\({\begin{aligned}(xy+1)-(x+y)&=xy-x-y+1\\[6pt]&=x(y-1)-(y-1)\\[6pt]&=(x-1)(y-1)\end{aligned}}\)
ここで、\(x>1\)，\(y>1\) より \(x-1>0\)，\(y-1>0\)
ゆえに \((xy+1)-(x+y)>0\)
よって \(xy+1>x+y\)
\(A\geqq B\) の形で、\(A-B\) が2次式になる不等式では、和や積の形にうまく分けられないことがあります。
そのときに使うのが平方完成です。
2次の不等式は平方完成で示す
実数は2乗すると必ず \(0\) 以上になります。
つまり、実数 \(a\) について \(a^2\geqq 0\) です。
2次の不等式 \(A\geqq B\) は、\(A-B\) を平方完成して \((\ \ )^2+(\ \ )^2\) の形にすれば、\(A-B\geqq 0\) を示せます。
\(\geqq\) の不等式では、等号が成り立つときも調べます。
実数 \(A\)，\(B\) について \(A^2+B^2=0\) となるのは、\(A=0\) かつ \(B=0\) のときだけです。
2乗の和が0になるのは、どちらも0のときだけだね！
平方完成して不等式を証明する
不等式 \(x^2+5y^2\geqq 4xy\) を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。
\(x\) についての2次式とみて、\(x^2-4xy\) の部分を平方完成します。
\({\begin{aligned}(x^2+5y^2)-4xy&=x^2-4xy+5y^2\\[6pt]&=(x-2y)^2-4y^2+5y^2\\[6pt]&=(x-2y)^2+y^2\geqq 0\end{aligned}}\)
よって \(x^2+5y^2\geqq 4xy\)
等号が成り立つのは \(x-2y=0\) かつ \(y=0\) すなわち \(x=y=0\) のときである。
根号を含む不等式は両辺を2乗して比べる
根号を含む不等式は、そのままでは差を計算しにくいので、両辺を2乗して根号をはずします。
ただし、2乗して大小関係が変わらないのは、両辺が0以上のときだけです。
たとえば \(-3<2\) ですが、2乗すると \(9>4\) となり、大小が逆になります。
両辺が0以上なら、\(A\geqq B\ \Leftrightarrow\ A^2\geqq B^2\) が成り立ちます。
2乗をはずすときは、両辺が0以上かを必ず確認しよう！
根号を含む不等式を証明する
\(a>0\)，\(b>0\) のとき、不等式 \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}\) を証明せよ。
両辺とも正なので、2乗の差を調べます。
（左辺）²−（右辺）²\({\begin{aligned}[t]&=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-(\sqrt{a+b})^2\\[6pt]&=(a+2\sqrt{ab}+b)-(a+b)\\[6pt]&=2\sqrt{ab}>0\end{aligned}}\)
ゆえに \((\sqrt{a}+\sqrt{b})^2>(\sqrt{a+b})^2\)
ここで、\(\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\)，\(\sqrt{a+b}>0\) であるから \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}\)
絶対値を含む不等式も2乗して比べる
絶対値を含む不等式も、根号を含む不等式と同じように、両辺を2乗して比べます。
絶対値は0以上なので、2乗しても大小関係は変わりません。
また、\(|A|^2=A^2\) なので、2乗すると絶対値の記号をはずせます。
さらに、\(|A|\) は \(A\) と \(-A\) の大きい方なので、\(|A|\geqq A\)，\(|A|\geqq -A\) が成り立ちます。
|A|−A≧0 は、証明の最後でよく使うよ！
絶対値を含む不等式を証明する
不等式 \(|a|+|b|\geqq|a+b|\) を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。
両辺とも0以上なので、2乗の差を調べます。
\(|a||b|=|ab|\) であることも使います。
（左辺）²−（右辺）²\({\begin{aligned}[t]&=(|a|+|b|)^2-|a+b|^2\\[6pt]&=|a|^2+2|a||b|+|b|^2-(a+b)^2\\[6pt]&=a^2+2|ab|+b^2-(a^2+2ab+b^2)\\[6pt]&=2(|ab|-ab)\geqq 0\end{aligned}}\)
ゆえに \((|a|+|b|)^2\geqq|a+b|^2\)
ここで、\(|a|+|b|\geqq 0\)，\(|a+b|\geqq 0\) であるから \(|a|+|b|\geqq|a+b|\)
等号が成り立つのは \(|ab|=ab\) すなわち \(ab\geqq 0\) のときである。
練習問題
(1) \(x>y\) のとき、次の不等式を証明せよ。
\(3x-4y>x-2y\)
(2) \(x>2\)，\(y>3\) のとき、次の不等式を証明せよ。
\(xy+6>3x+2y\)
答えを見る
(1)
\({\begin{aligned}(3x-4y)-(x-2y)&=2x-2y\\[6pt]&=2(x-y)\end{aligned}}\)
ここで、\(x>y\) より \(x-y>0\) ゆえに \((3x-4y)-(x-2y)>0\)
よって \(3x-4y>x-2y\)
(2)
\({\begin{aligned}(xy+6)-(3x+2y)&=xy-3x-2y+6\\[6pt]&=x(y-3)-2(y-3)\\[6pt]&=(x-2)(y-3)\end{aligned}}\)
ここで、\(x>2\)，\(y>3\) より \(x-2>0\)，\(y-3>0\)
ゆえに \((xy+6)-(3x+2y)>0\) よって \(xy+6>3x+2y\)
次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。
(1) \((a+b)^2\geqq 4ab\)
(2) \(2x^2+9y^2\geqq 6xy\)
(3) \(a^2-ab+b^2\geqq 0\)
答えを見る
(1)
\({\begin{aligned}(a+b)^2-4ab&=a^2+2ab+b^2-4ab\\[6pt]&=a^2-2ab+b^2\\[6pt]&=(a-b)^2\geqq 0\end{aligned}}\)
よって \((a+b)^2\geqq 4ab\)
等号が成り立つのは \(a-b=0\) すなわち \(a=b\) のときである。
(2)
\({\begin{aligned}(2x^2+9y^2)-6xy&=x^2+(x^2-6xy+9y^2)\\[6pt]&=x^2+(x-3y)^2\geqq 0\end{aligned}}\)
よって \(2x^2+9y^2\geqq 6xy\)
等号が成り立つのは \(x=0\) かつ \(x-3y=0\) すなわち \(x=y=0\) のときである。
(3)
\({\begin{aligned}a^2-ab+b^2&=\left(a-\frac{b}{2}\right)^2-\frac{b^2}{4}+b^2\\[6pt]&=\left(a-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3}{4}b^2\geqq 0\end{aligned}}\)
よって \(a^2-ab+b^2\geqq 0\)
等号が成り立つのは \(a-\frac{b}{2}=0\) かつ \(b=0\) すなわち \(a=b=0\) のときである。
\(x>0\) のとき、次の不等式を証明せよ。
\(1+x>\sqrt{1+2x}\)
答えを見る
（左辺）²−（右辺）²\({\begin{aligned}[t]&=(1+x)^2-(\sqrt{1+2x})^2\\[6pt]&=(1+2x+x^2)-(1+2x)\\[6pt]&=x^2>0\end{aligned}}\)
ゆえに \((1+x)^2>(\sqrt{1+2x})^2\)
ここで、\(1+x>0\)，\(\sqrt{1+2x}>0\) であるから \(1+x>\sqrt{1+2x}\)
次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。
\(|a|+|b|\geqq|a-b|\)
答えを見る
（左辺）²−（右辺）²\({\begin{aligned}[t]&=(|a|+|b|)^2-|a-b|^2\\[6pt]&=a^2+2|ab|+b^2-(a^2-2ab+b^2)\\[6pt]&=2(|ab|+ab)\geqq 0\end{aligned}}\)
ゆえに \((|a|+|b|)^2\geqq|a-b|^2\)
ここで、\(|a|+|b|\geqq 0\)，\(|a-b|\geqq 0\) であるから \(|a|+|b|\geqq|a-b|\)
等号が成り立つのは \(|ab|=-ab\) すなわち \(ab\leqq 0\) のときである。
まとめ：不等式の証明
さて、今回のまとめだよ！
■ 不等式 A＞B の証明
\(A-B>0\) を示すのが基本。
- （正）＋（正）＝（正）
- （正）×（正）＝（正）
■ 2次の不等式の証明
平方完成して、\((\ \ )^2\geqq 0\) を利用して \(A-B\geqq 0\) を示す。
■ 等号が成り立つとき
\(A\)，\(B\) が実数のとき \(A^2+B^2=0\ \Leftrightarrow\ A=B=0\)
■ 根号・絶対値を含む不等式
\(A\geqq 0\)，\(B\geqq 0\) のとき \(A\geqq B\ \Leftrightarrow\ A^2\geqq B^2\)
両辺が0以上なら、2乗して大小を比べてよい。
■ 絶対値の性質
\(|A|^2=A^2\) \(|A|\geqq A\) \(|A|\geqq -A\)
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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