【数学B】数列09：等比数列の和

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

等比数列の和の公式

等比数列の和は、公比が \(1\) かどうかで求め方が変わります。

公比が1のとき

公比が \(1\) のとき、等比数列は \(a,\ a,\ a,\ \cdots\) と同じ数が並ぶだけです。

\(n\) 個の \(a\) を足すので、和は \(S_n=na\) となります。

公比が1でないとき（ずらして引く）

\(1+3+9+27\) を例に考えます。

和を \(S\) とおき、両辺に公比 \(3\) を掛けた \(3S\) を、1つずらして並べてみましょう。

\(3,\ 9,\ 27\) がそろって縦に並ぶので、上から下を引くと、これらはすべて消えます。

残るのは \(S-3S=1-81\) だけなので、\(-2S=-80\) となり \(S=40\) です。

これを一般化します。

\(S_n\) と \(rS_n\) を1つずらして並べ、上から下を引きます。

\(r\neq 1\) のとき、両辺を \(1-r\) で割ると次の公式が得られます。

分母と分子に \(-1\) を掛けた形も同じ式です。

\(S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\)

\(r<1\) のときは左の形、\(r>1\) のときは右の形を使うと、分母が正になって計算しやすくなります。

等比数列の和を求める

初項と公比から和を求める

(1) は公比 \(2>1\) なので、\(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) を使います。

\(S_n=\frac{3(2^n-1)}{2-1}={\color{#EE4656}{3(2^n-1)}}\)

(2) は公比 \(\frac{1}{2}<1\) なので、\(S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\) を使います。

和の条件から初項と公比を求める

条件を式にすると、次のようになります。

\({\color{#E9548E}{a+ar+ar^2}}={\color{#E9548E}{3}}\)　…①

\(ar+ar^2+ar^3=-6\)　…②

②の左辺を \(r\) でくくると \(r({\color{#E9548E}{a+ar+ar^2}})\) となり、かっこの中は①の左辺と同じです。

①を代入すると \({\color{#E9548E}{3}}r=-6\) となるので、\(r=-2\) です。

\(r={\color{#45A3DA}{-2}}\) を①に代入すると \(a+a\cdot({\color{#45A3DA}{-2}})+a\cdot({\color{#45A3DA}{-2}})^2=3\) すなわち \(a-2a+4a=3\) となり、\(3a=3\) より \(a=1\) です。

よって \(a=1,\ r=-2\) となります。

練習問題

答えを見る

(1)　初項 \(1\)、公比 \(2\) より　\(S_n=\frac{2^n-1}{2-1}=\) \(2^n-1\)

(2)　初項 \(2\)、公比 \(-\frac{1}{3}\) より　\(S_n=\frac{2\left\{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^n\right\}}{1+\frac{1}{3}}=\) \(\frac{3}{2}\left\{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^n\right\}\)

答えを見る

\(a+ar+ar^2=7\)、\(r^2(a+ar+ar^2)=28\) より \(7r^2=28\)、\(r=\pm 2\)

\(r=2\) のとき \(7a=7\) より \(a=1\)、\(r=-2\) のとき \(3a=7\) より \(a=\frac{7}{3}\)

よって　\(a=1,\ r=2\) または \(a=\frac{7}{3},\ r=-2\)

まとめ：等比数列の和