今日の板書はこれ！
■ 数列の和の公式（\(k=1\) から \(k=n\) までの和）
[1] 定数 \(c\) を \(n\) 回足す
\(\sum\limits_{k=1}^{n}c=cn\)
[2] \(1+2+3+\cdots+n\)
\(\sum\limits_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)\)
[3] \(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\)
\(\sum\limits_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
[4] \(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3\)
\(\sum\limits_{k=1}^{n}k^3=\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2\)
次の和を求めよ。
(1) \(\sum\limits_{k=1}^{10}k^2\)
(2) \(\sum\limits_{k=1}^{n-1}k\)
▼ 解答
(1) \(\sum\limits_{k=1}^{10}k^2=\frac{1}{6}\cdot 10\cdot 11\cdot 21={\color{#EE4656}{385}}\)
(2) \(\sum\limits_{k=1}^{n-1}k={\color{#EE4656}{\frac{1}{2}(n-1)n}}\)
もっと詳しく願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
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定数の和 Σc=cn
\(\sum\limits_{k=1}^{n}c\) は、\(k\) にどの番号を入れても \(c\) のままなので、\(c\) を \(n\) 回足すことになります。
よって \(\sum\limits_{k=1}^{n}c=cn\) です。
たとえば \(\sum\limits_{k=1}^{5}4=4+4+4+4+4=20\) となります。
1からnまでの和 Σk=1/2 n(n+1)
\(\sum\limits_{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots+n\) は、初項 \(1\)、末項 \(n\)、項数 \(n\) の等差数列の和です。
そこで、等差数列の和の公式を使います。
\(S_n=\frac{1}{2}n(a+l)\)
この式に、初項 \(a=1\)、末項 \(l=n\)、項数 \(n\) を代入します。
\(\begin{aligned}\sum\limits_{k=1}^{n}k&=\frac{1}{2}\cdot{\color{#8E44AD}{n}}({\color{#3CB371}{1}}+{\color{#F39800}{n}})\end{aligned}\)
よって、次の公式が得られます。
\(\sum\limits_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)\)
たとえば \(n=5\) なら \(1+2+3+4+5=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6=15\) で、ちゃんと合っているね！
2乗の和 Σk² と3乗の和 Σk³
2乗の和と3乗の和には、次の公式があります。
\(\sum\limits_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
\(\sum\limits_{k=1}^{n}k^3=\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2\)
3乗の和は、1から \(n\) までの和 \(\frac{1}{2}n(n+1)\) をそのまま2乗した形になっていて、覚えやすい公式です。
恒等式 \((k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1\) を使います。
この式の \(k\) に \(1,\ 2,\ \cdots,\ n\) を代入して辺々を足すと、左辺は途中の項が打ち消し合って \((n+1)^3-1\) だけが残ります。
\(\begin{aligned}(n+1)^3-1&=3\sum\limits_{k=1}^{n}k^2+3\cdot\frac{1}{2}n(n+1)+n\end{aligned}\)
左辺は \(n^3+3n^2+3n\) なので、\(3\sum\limits_{k=1}^{n}k^2=n^3+\frac{3}{2}n^2+\frac{1}{2}n=\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)\) となります。
両辺を3で割ると公式が得られます。
公式を使ってΣの和を求める
次の和を求めよ。
(1) \(\sum\limits_{k=1}^{10}k^2\)
(2) \(\sum\limits_{k=1}^{n-1}k\)
(1) は、2乗の和の公式に \(n=10\) を代入します。
\(\sum\limits_{k=1}^{10}k^2=\frac{1}{6}\cdot 10\cdot 11\cdot 21={\color{#EE4656}{385}}\)
(2) は、上の数が \(n-1\) になっています。
公式の \(n\) を \(n-1\) に置きかえればよいので、\(\frac{1}{2}n(n+1)\) の \(n\) に \(n-1\) を代入します。
\(\sum\limits_{k=1}^{n-1}k=\frac{1}{2}(n-1)\{(n-1)+1\}={\color{#EE4656}{\frac{1}{2}(n-1)n}}\)
公式の \(n\) は「上の数」のこと。上が \(n-1\) なら、\(n\) をまるごと \(n-1\) に置きかえるんだ！
練習問題
次の和を求めよ。
(1) \(\sum\limits_{k=1}^{15}2\)
(2) \(\sum\limits_{k=1}^{50}k\)
(3) \(\sum\limits_{k=1}^{12}k^2\)
(4) \(\sum\limits_{k=1}^{7}k^3\)
答えを見る
(1) \(2\cdot 15=\) \(30\)
(2) \(\frac{1}{2}\cdot 50\cdot 51=\) \(1275\)
(3) \(\frac{1}{6}\cdot 12\cdot 13\cdot 25=\) \(650\)
(4) \(\left(\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 8\right)^2=\) \(784\)
まとめ：数列の和の公式
さて、今回のまとめだよ！
■ 数列の和の公式（\(k=1\) から \(k=n\) までの和）
[1] 定数 \(c\) を \(n\) 回足す
\(\sum\limits_{k=1}^{n}c=cn\)
[2] \(1+2+3+\cdots+n\)
\(\sum\limits_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)\)
[3] \(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\)
\(\sum\limits_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
[4] \(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3\)
\(\sum\limits_{k=1}^{n}k^3=\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2\)
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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