複素数と方程式

2次方程式の2つの解がともに正、ともに負、異符号になる条件を、判別式 D と解と係数の関係（和 α＋β、積 αβ）で表す方法を解説します。なぜ3つの条件が必要なのか、異符号のとき D の条件が要らない理由も分かります。例題・練習問題付き。

2次方程式の2つの解の和と積は、解を求めなくても係数を見るだけで分かります。解と係数の関係 α＋β＝−b/a、αβ＝c/a を、具体例と解の公式から導き、使い方を解説します。例題・練習問題付き。

2次方程式の2つの解 α, β について、α²＋β² や α³＋β³ の値は、解を求めなくても解と係数の関係から計算できます。対称式・交代式の意味と、基本対称式 α＋β、αβ で表す変形を解説します。例題・練習問題付き。

判別式 D の符号を調べると、2次方程式を解かなくても解の種類が分かります。D＞0なら異なる2つの実数解、D＝0なら重解、D＜0なら異なる2つの虚数解。定数 m を含む場合の場合分けも解説します。例題・練習問題付き。

複素数の範囲で考えると、根号の中が負になる2次方程式も解けるようになります。実数係数の2次方程式の解の公式と、b が偶数のときの公式を使って、虚数解を求める方法を解説します。例題・練習問題付き。

2つの複素数が等しいとは「実部どうし・虚部どうしがそれぞれ等しい」ことです。複素数の相等の定義と、等式を満たす実数 x, y を求める問題の解き方を解説します。なぜ「実数である」と書く必要があるのかも説明します。例題・練習問題付き。

負の数の平方根の表し方、複素数の足し算・引き算・掛け算・割り算、共役な複素数の性質を解説します。√−a はすぐ √a i に直す、i² は −1 にする、分母は共役な複素数で実数化する、の3つのルールで計算できます。例題・練習問題付き。

2乗すると−1になる数「虚数単位 i」と、実部・虚部からなる「複素数」の定義を、数の世界の広がりから意味で理解できるように解説します。実数と虚数・純虚数の違いや、虚数に大小がない理由も扱います。例題・練習問題付き。

2数 α, β を解とする2次方程式は x²−(α＋β)x＋αβ＝0。和と積が分かれば2次方程式が作れます。2数が与えられたとき、解をもとに新しい2数を作るとき、和と積から2数を求めるときの3つの使い方を解説します。例題・練習問題付き。

たすき掛けでは因数分解できない2次式も、2次方程式の解を求めれば因数分解できます。ax²＋bx＋c＝a(x−α)(x−β) となる理由を解と係数の関係から解説し、複素数の範囲での因数分解を練習します。例題・練習問題付き。