今日の板書はこれ！
\(a>0,\ a\neq 1,\ M>0\) のとき、\(a^p=M\) を満たす \(p\) を \(p=\log_a M\) と表す。
この \(\log_a M\) を \(a\) を底とする \(M\) の対数 といい、\(a\) を底、\(M\) を真数という。
\(\log_a M\) は「\(a\) を何乗すると \(M\) になるか」を表す数。
次の関係を \(\log_a M=p\) の形に書け。
(1) \(8=2^3\) (2) \(\frac{1}{3}=3^{-1}\)
▼ 解答
(1) \(8=2^3\) だから \(\log_2 8=3\)
(2) \(\frac{1}{3}=3^{-1}\) だから \(\log_3 \frac{1}{3}=-1\)
次の値を求めよ。
(1) \(\log_5 125\) (2) \(\log_2 \frac{1}{2}\) (3) \(\log_3 \sqrt{3}\)
▼ 解答
(1) \(\log_5 125=\log_5 5^3=\) \(3\)
(2) \(\log_2 \frac{1}{2}=\log_2 2^{-1}=\) \(-1\)
(3) \(\log_3 \sqrt{3}=\log_3 3^{\frac{1}{2}}=\) \(\frac{1}{2}\)
もっと詳しく願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？教科書や参考書を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。
このサイトでは、私が受けた質問やつまずきポイントをもとに、意味から理解できるように解説していきます。
「2を何乗すると3になる？」を表す数が対数です
たとえば \(2^x=4\) なら、\(x=2\) だとすぐ分かるよね。じゃあ \(2^x=3\) を満たす \(x\) は？
うーん、\(2^1=2\) で \(2^2=4\) だから、1 と 2 の間にありそう…でも、ぴったりの数が言えません。
そうなんだ。いまの記号だけだと表せない。そこで「\(2\) を何乗すると \(3\) になるか」そのものを表す新しい数、対数（たいすう） を用意するよ。
これまでは指数不等式の解き方まで、指数の計算を学んできました。
ここからは、その指数と表裏の関係にある対数に入っていきます。
対数の定義とことば
① 対数の定義：指数の形を log で書きかえる
定義はこう。\(a>0,\ a\neq 1,\ M>0\) のとき、\(a^p=M\) と \(p=\log_a M\) は、同じ関係を表しているんだ。
\(a>0,\ a\neq 1,\ M>0\) のとき、\(a^p=M \Leftrightarrow p=\log_a M\) と定義します。
左の指数の式と、右の対数の式は、まったく同じ関係を別の書き方で表しているだけです。
対数の式 \(p=\log_a M\) は、「\(a\) を \(p\) 乗すると \(M\) になる」という指数の式 \(a^p=M\) を、\(p=\) の形に直したものだと考えると分かりやすいです。
② 底と真数ということば
\(\log_a M\) のうち、下に小さく書く \(a\) を底（てい）、\(\log\) の右にある \(M\) を真数（しんすう）といいます。
定義の条件にあるとおり、底は \(a>0,\ a\neq 1\)、真数は \(M>0\) でなければなりません。
この条件はこの先の単元でもずっと効いてきます。
③ 対数の値の意味：「a を何乗すると M になるか」
\(\log_a M\) の値って、結局どう読めばいいの？って思うよね。
\(\log_a M\) の値とは、ずばり「\(a\) を何乗すると \(M\) になるか」という数そのものです。
たとえば \(\log_2 8\) なら「\(2\) を何乗すると \(8\) になるか」を考えて、\(2^3=8\) だから \(\log_2 8=3\) となります。
指数と対数を書きかえてみよう
じゃあ、定義を使って実際に書きかえたり、値を求めたりしてみよう。
次の関係を \(\log_a M=p\) の形に書け。
(1) \(8=2^3\) (2) \(\frac{1}{3}=3^{-1}\)
指数の式 \(a^p=M\) を、そのまま \(\log_a M=p\) にあてはめるだけです。
(1) は底が \(2\) で、\(2\) を \(3\) 乗して \(8\) なので \(\log_2 8=3\) です。
(2) は底が \(3\) で、\(3\) を \(-1\) 乗して \(\frac{1}{3}\) なので \(\log_3 \frac{1}{3}=-1\) です。
逆に、対数の式を指数の式 \(M=a^p\) に戻すこともできるよ。\(\log_4 64=3\) なら「\(4\) を \(3\) 乗すると \(64\)」だから \(64=4^3\) だね。
次の値を求めよ。
(1) \(\log_5 125\) (2) \(\log_2 \frac{1}{2}\) (3) \(\log_3 \sqrt{3}\)
値を求めるときは、真数を「底の何乗」の形に直すのがコツです。
(1) \(125=5^3\) だから、\(\log_5 125=\log_5 5^3=\) \(3\) です。
(2) \(\frac{1}{2}=2^{-1}\) だから、\(\log_2 \frac{1}{2}=\log_2 2^{-1}=\) \(-1\) です。
(3) 根号は有理数の指数を使うと \(\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}\) と書けるので、\(\log_3 \sqrt{3}=\log_3 3^{\frac{1}{2}}=\) \(\frac{1}{2}\) です。
真数を「底の◯乗」に直せば、その指数がそのまま答えになるんですね！
練習問題
あとは練習あるのみ！答えは折りたたみになっているから、まず自分で考えてみてね。
次の関係を \(\log_a M=p\) の形に書け。
(1) \(9=3^2\) (2) \(\frac{1}{25}=5^{-2}\) (3) \(10^{\frac{1}{2}}=\sqrt{10}\)
答えを見る
(1) \(\log_3 9=2\)
(2) \(\log_5 \frac{1}{25}=-2\)
(3) \(\log_{10} \sqrt{10}=\frac{1}{2}\)
次の関係を \(M=a^p\) の形に書け。
(1) \(\log_4 64=3\) (2) \(\log_7 \frac{1}{7}=-1\) (3) \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}=3\)
答えを見る
(1) \(64=4^3\)
(2) \(\frac{1}{7}=7^{-1}\)
(3) \(\frac{1}{8}=\left(\frac{1}{2}\right)^3\)
次の値を求めよ。
(1) \(\log_2 2^5\) (2) \(\log_5 25\) (3) \(\log_3 \frac{1}{27}\)
(4) \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16}\) (5) \(\log_{10} 0.1\) (6) \(\log_2 \sqrt[3]{2}\)
ヒントを見る
真数を「底の◯乗」の形に直すと、その指数が答えです。(5) は \(0.1=\frac{1}{10}=10^{-1}\)、(6) は \(\sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}}\) です。
答えを見る
(1) \(\log_2 2^5=5\)
(2) \(\log_5 25=\log_5 5^2=2\)
(3) \(\log_3 \frac{1}{27}=\log_3 3^{-3}=-3\)
(4) \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16}=\log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^4=4\)
(5) \(\log_{10} 0.1=\log_{10} 10^{-1}=-1\)
(6) \(\log_2 \sqrt[3]{2}=\log_2 2^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}\)
まとめ：対数の定義
さて、今回のまとめだよ！
\(a>0,\ a\neq 1,\ M>0\) のとき \(a^p=M \Leftrightarrow p=\log_a M\)
\(\log_a M\) は \(a\) が底、\(M\) が真数。値は「\(a\) を何乗すると \(M\) になるか」。
値を求めるコツ：真数を「底の◯乗」に直すと、その指数が答え。
また一つ賢くなった！
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