【数学Ⅱ】指数関数と対数関数12：対数関数 y=logₐx のグラフ

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

対数関数 y=logₐx のグラフってどんな形？

指数関数 \(y=a^x\) で、\(x\) と \(y\) を入れかえてみよう。

すると \(x=a^y\) になるね。

これは対数の定義（記事09）から \(y=\log_a x\) と書きかえられる。

つまり \(y=a^x\) と \(y=\log_a x\) は、\(x\) と \(y\) の役割を入れかえただけの逆の関係（逆関数）なんだ。

だからグラフは y=x について対称になる

理由はシンプル。

点 \((p,\ q)\) が \(y=a^x\) のグラフ上にあるとき、\(x\) と \(y\) を入れかえた点 \((q,\ p)\) は \(y=\log_a x\) のグラフ上にくる。

この2点は、直線 \(y=x\) についてちょうど対称の位置にあるね。

だからグラフ全体も \(y=x\) について対称になるんだ。

対数関数 y=logₐx のグラフの4つの特徴

① 定義域は x>0、値域は実数全体

対数 \(\log_a x\) の真数 \(x\) は正の数だから、グラフは \(x>0\) の部分にしかない。

これが定義域だよ。

いっぽう \(y\) の値は、上にも下にもどこまでも伸びていくから、値域は実数全体になる。

② a>1 は右上がり、0<a<1 は右下がり

\(a>1\) のときは単調増加で右上がり、\(0<a<1\) のときは単調減少で右下がりのグラフになる。

これは指数関数 \(y=a^x\) の増え方・減り方とちょうどそろっているよ。

③ 必ず点 (1, 0) を通り、y軸が漸近線

\(\log_a 1=0\) だから、底が何であっても対数関数のグラフは必ず点 \((1,\ 0)\) を通る。

そして \(x\) を \(0\) に近づけると \(y\) は限りなく大きく（または小さく）なり、グラフは \(y\) 軸にどんどん近づいていく。

この\(y\) 軸（\(x=0\)）が漸近線だよ。

④ 底が逆数どうしのグラフは x軸について対称

\(y=\log_a x\) と、底を逆数にした \(y=\log_{1/a} x\) のグラフは、\(x\) 軸について対称になる。

次の「なぜ？」で理由を確かめてみよう。

なぜ底が逆数だと x軸について対称？（とばして練習に進んでもOK）

底の変換公式（記事11）を使うと、\(\log_{1/a} x=\frac{\log_a x}{\log_a \frac{1}{a}}\) と書ける。

ここで \(\log_a \frac{1}{a}=\log_a a^{-1}=-1\) だから、\(\log_{1/a} x=-\log_a x\) となる。

つまり \(y=\log_{1/a} x=-\log_a x\)。

同じ \(x\) に対して\(y\) の符号だけがひっくり返るね。

だから2つのグラフは\(x\) 軸について対称になるんだ。

練習問題で確かめよう

答えを見る

（1）グラフの関係から

\(y=2^x\) と \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\) は\(y\) 軸について対称。この2つをそれぞれ直線 \(y=x\) で折り返したものが \(y=\log_2 x\) と \(y=\log_{1/2} x\)。\(y=2^x\) 上の点 \((t,\ 2^t)\) と \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\) 上の点 \((-t,\ 2^t)\) を \(y=x\) で折り返すと、\((2^t,\ t)\) と \((2^t,\ -t)\) になる。この2点は \(x\) 座標が同じで \(y\) の符号だけが逆なので、\(x\) 軸について対称。よって2つの対数のグラフも \(x\) 軸について対称になる。

（2）底の変換公式で（こちらが早い）

\(\log_{1/2} x=\frac{\log_2 x}{\log_2 \frac{1}{2}}=\frac{\log_2 x}{-1}=-\log_2 x\)。

よって \(y=\log_{1/2} x=-\log_2 x\)。同じ \(x\) に対して \(y\) の符号が逆だから、\(y=\log_2 x\) のグラフと\(x\) 軸について対称。

答えを見る

通る点をいくつか取ってかくのがコツ。どちらも\(y\) 軸が漸近線で、点 \((1,\ 0)\) を通る。

（1）\(y=\log_3 x\)：\((1,\ 0),\ (3,\ 1),\ \left(\frac{1}{3},\ -1\right)\) を通る右上がりのグラフ。

（2）\(y=\log_{1/3} x\)：\((1,\ 0),\ (3,\ -1),\ \left(\frac{1}{3},\ 1\right)\) を通る右下がりのグラフ。（1）を \(x\) 軸で折り返した形になる。

まとめ：対数関数 y=logₐx のグラフ