【数学Ⅱ】指数関数と対数関数13：対数の大小比較

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

対数の大小比較って何をするの？

底がそろっているときは、真数（\(\log\) の中身）の大小を比べるだけでいい。

むずかしいのは「底がちがう」「係数がついている」ときで、そこをどうそろえるかがポイントになるよ。

底が同じときは「真数」で決まる

前回の対数関数のグラフで見たように、\(y=\log_a x\) は \(a>1\) のとき右上がりの単調増加、\(0<a<1\) のとき右下がりの単調減少だったね。

だから底が \(1\) より大きいときは、真数が大きいほど対数も大きい。

逆に底が \(1\) より小さいときは、真数が大きいほど対数は小さくなる（逆転）。

この「逆転」を忘れるのが一番のミスだよ。

係数は指数に入れて真数をそろえる

対数の性質で習った \(k\log_a M = \log_a M^k\) を使えば、\(2\log_5 3 = \log_5 3^2 = \log_5 9\) のように「真数だけの比較」にできる。

こうしてから真数の大小を見ればいいんだ。

例題：底をそろえて真数で比べる

考え方

解いてみよう

まず係数を指数に入れて真数をまとめる。

\(2\log_5 3 = \log_5 3^2 = \log_5 9\)、\(3\log_5 2 = \log_5 2^3 = \log_5 8\) となる。

底 \(5>1\) は単調増加だから、真数の大きい方が大きい。

真数は \(9>8\) だね。

よって \(2\log_5 3 > 3\log_5 2\) が答え。

練習24で確かめよう

答えを見る

(1)　\(3\log_4 3 = \log_4 3^3 = \log_4 27\)、\(2\log_4 5 = \log_4 5^2 = \log_4 25\)。底 \(4>1\)（増加）で \(27>25\) だから \(3\log_4 3 > 2\log_4 5\)。

(2)　\(\frac{1}{2}\log_{1/4} 8 = \log_{1/4} 8^{\frac{1}{2}} = \log_{1/4} 2\sqrt{2}\)。底 \(\frac{1}{4}<1\)（減少）だから真数が小さいほど対数は大きい。\(2\sqrt{2}=\sqrt{8}<3\) より \(\frac{1}{2}\log_{1/4} 8 > \log_{1/4} 3\)。

(3)　\(2 = \log_2 2^2 = \log_2 4\) と表せる。底 \(2>1\)（増加）で \(3<4\) だから \(\log_2 3 < \log_2 4\)。よって \(\log_2 3 < 2\)。

まとめ：対数の大小比較