【数学Ⅱ】指数関数と対数関数18：常用対数と小数首位

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

小数首位ってなに？

この「初めて \(0\) でない数字が現れる位」のことを 小数首位 と呼びます。

小数首位はどこで切り替わる？

\(0.1\) から \(0.9\) までは小数第1位、\(0.01\) から \(0.09\) までは小数第2位、\(0.001\) から \(0.009\) までは小数第3位です。

これを \(10\) のべき乗で書き直すと、小数第1位は \(10^{-1}\) 以上 \(10^{0}\) 未満、小数第2位は \(10^{-2}\) 以上 \(10^{-1}\) 未満、小数第3位は \(10^{-3}\) 以上 \(10^{-2}\) 未満、というふうにピタリと対応します。

おもしろいことに、指数が \(-14.313\) のように整数でなくても、\(10^{-15}\) 以上 \(10^{-14}\) 未満に入っていれば小数首位は第15位だと分かります。

小数首位を求める＝「10の何乗か」を求める

ある数 \(N\) が \(10\) の何乗であるか、つまり \(10^{P}=N\) の \(P\) は、対数の定義から \(P=\log_{10}N\) で求められます。

例題1：(1/3)³⁰ の小数首位

考え方

\(\left(\frac{1}{3}\right)^{30}\) は \(3^{-30}\) と書けるから、\(\log_{10}\left(\frac{1}{3}\right)^{30}=\log_{10}3^{-30}=-30\log_{10}3\) となります。

解いてみよう

\(\log_{10}\left(\frac{1}{3}\right)^{30}=-30\log_{10}3=-30\times0.4771=-14.313\)

よって \(\left(\frac{1}{3}\right)^{30}=10^{-14.313}\) です。

\(-14.313\) は \(-15\) と \(-14\) のあいだの数なので、\(10^{-15}<10^{-14.313}<10^{-14}\)。

したがって \(\left(\frac{1}{3}\right)^{30}\) の小数首位は 小数第15位。

練習にチャレンジ

考え方は例題とまったく同じ。

常用対数をとって「10 の何乗か」を調べるだけです。

答えを見る

\(\log_{10}\left(\frac{1}{2}\right)^{20}=\log_{10}2^{-20}=-20\log_{10}2=-20\times0.3010=-6.020\)

よって \(\left(\frac{1}{2}\right)^{20}=10^{-6.020}\) で、\(10^{-7}<10^{-6.020}<10^{-6}\)。

したがって小数首位は 小数第7位。

まとめ：常用対数と小数首位