今日の板書はこれ！
曲線 \(y=f(x)\) 上の点 \(A(a,\ f(a))\) における接線の傾きは、微分係数 \(f'(a)\) に等しい。
接線の方程式 \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)
\(y=-x^2+4x\) のグラフ上の点 \((1,\ 3)\) における接線の方程式を求めよ。
▼ 解答
\(y’=-2x+4\) より、接線の傾きは \(-2\cdot1+4=2\)
よって \(y=2(x-1)+3\) すなわち \(y=2x+1\)
\(y=x^2+3\) のグラフに、点 \(C(1,\ 0)\) から引いた接線の方程式を求めよ。
▼ 解答
接点を \((a,\ a^2+3)\) とおく。\(y’=2x\) より、接線は \(y=2a(x-a)+a^2+3=2ax-a^2+3\)
これが \((1,\ 0)\) を通るから \(0=2a-a^2+3\)、すなわち \(a^2-2a-3=0\) より \(a=-1,\ 3\)
よって \(y=-2x+2,\ \ y=6x-6\)
もっと詳しく願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。
「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。
でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。
意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！
「接線の方程式」とは？
今回は「接線の方程式」だよ。グラフ上のある点で、曲線にピタッと接する直線の式を求められるようになろう！
接線って、どうやって式にするんですか？
カギは前に学んだ「微分係数」なんだ。微分係数 \(f'(a)\) は、点 \((a,\ f(a))\) における接線の傾きそのものだったよね。
直線の式は、通る1点と傾きが分かれば決まります。
点 \((x_1,\ y_1)\) を通り、傾きが \(m\) の直線は \(y-y_1=m(x-x_1)\) と表せます。
接線が通る点は \((a,\ f(a))\)、傾きは \(m=f'(a)\) です。
これを代入すると、次の公式が得られます。
接線の方程式は \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)
つまり「傾き \(f'(a)\) を求めて、点 \((a,\ f(a))\) を通る直線を書く」だけ。微分係数の意味があいまいな人は、ここで復習しておこう！
グラフ上の点における接線を求めよう
\(y=-x^2+4x\) のグラフ上の点 \((1,\ 3)\) における接線の方程式を求めよ。
考え方
点 \((1,\ 3)\) は曲線上の点。だから「傾きを求めて公式にあてはめる」だけでOKだよ。
手順は2ステップです。
まず導関数から接線の傾きを求めます。
次に、その傾きと接点 \((1,\ 3)\) を直線の式にあてはめます。
解いてみよう
導関数は \(y’=-2x+4\) です。
\(x=1\) を代入すると、接線の傾きは \(-2\cdot1+4=2\) となります。
傾き \(2\) で点 \((1,\ 3)\) を通る直線だから \(y=2(x-1)+3\)、展開して \(y=2x+1\) です。
公式にあてはめるだけなら簡単ですね！
曲線の外の点から引いた接線を求めよう
\(y=x^2+3\) のグラフに、点 \(C(1,\ 0)\) から引いた接線の方程式を求めよ。
今度は点 \(C(1,\ 0)\) が曲線の外にあるパターン。\(x=1\) を代入すると \(1^2+3=4\) だから、\(C\) は曲線上にないよね。
接点が分からないと、傾きも出せないような…？
そこがポイント！接点が分からないときは、接点を文字でおくんだ。接点を \((a,\ a^2+3)\) として進めよう。
考え方
接点を \((a,\ a^2+3)\) とおきます。
導関数は \(y’=2x\) なので、この点での傾きは \(2a\) です。
すると接線は \(y=2a(x-a)+a^2+3\)、展開して \(y=2ax-a^2+3\) と表せます。
解いてみよう
この接線が点 \(C(1,\ 0)\) を通るので、\(x=1,\ y=0\) を代入して \(0=2a-a^2+3\) となります。
整理すると \(a^2-2a-3=0\)、因数分解して \((a+1)(a-3)=0\) より \(a=-1,\ 3\) です。
\(a=-1\) のとき傾き \(-2\) で \(y=-2x+2\)、\(a=3\) のとき傾き \(6\) で \(y=6x-6\)。
よって求める接線は \(y=-2x+2,\ \ y=6x-6\) の2本です。
曲線の外の点からは、接線が2本引けることも多い。接点を文字でおくのが最大のコツだよ！
接線と「重解」の関係（発展）
最後に発展ネタ。放物線と接線の式を連立して \(f(x)=g(x)\) を解くと、必ず重解（解が1つに重なる）になるんだ。
接するとは、曲線と直線が接点のただ1点でぴったり触れ合うこと。
だから交点を求める方程式 \(f(x)=g(x)\) は、接点の \(x\) 座標を重解としてもちます。
判別式でいえば \(D=0\) ですね。
この性質は「本当に接しているか」を確かめる検算にも使えます。
実際に例題2の2本の接線で確かめてみましょう（練習3）。
練習問題にチャレンジ！
それじゃあ練習だよ。答えを見る前に、まず自分の手を動かしてみよう！
関数 \(y=2x^2-4x+3\) のグラフ上に、\(x\) 座標が \(-1\) である点 \(A\) をとる。点 \(A\) における接線の方程式を求めよ。
答えを見る
点 \(A\) の \(y\) 座標は \(2\cdot(-1)^2-4\cdot(-1)+3=9\) なので \(A(-1,\ 9)\)。
\(y’=4x-4\) より、傾きは \(4\cdot(-1)-4=-8\)。
よって \(y=-8(x+1)+9\)、すなわち \(y=-8x+1\)。
次の接線の方程式を求めよ。
(1) 関数 \(y=x^2+1\) のグラフに、点 \(C(-1,\ -7)\) から引いた接線
(2) 関数 \(y=x^2-2x+4\) のグラフに、原点 \(O\) から引いた接線
答えを見る
(1) 接点を \((a,\ a^2+1)\) とおくと、\(y’=2x\) より接線は \(y=2a(x-a)+a^2+1=2ax-a^2+1\)。
点 \((-1,\ -7)\) を通るから \(-7=-2a-a^2+1\)、すなわち \(a^2+2a-8=0\)、\((a+4)(a-2)=0\) より \(a=-4,\ 2\)。
よって \(y=-8x-15,\ \ y=4x-3\)。
(2) 接点を \((a,\ a^2-2a+4)\) とおくと、\(y’=2x-2\) より接線は \(y=(2a-2)(x-a)+a^2-2a+4=(2a-2)x-a^2+4\)。
原点 \((0,\ 0)\) を通るから \(0=-a^2+4\)、すなわち \(a^2=4\) より \(a=\pm2\)。
よって \(y=2x,\ \ y=-6x\)。
例題2の放物線 \(y=x^2+3\) と、そこで求めた2本の接線 \(y=-2x+2\)、\(y=6x-6\) について、\(f(x)=g(x)\) を連立した方程式がそれぞれ重解をもつことを確かめよ。
答えを見る
接線 \(y=-2x+2\)：\(x^2+3=-2x+2\) より \(x^2+2x+1=0\)、\((x+1)^2=0\) となり \(x=-1\) の重解。
接線 \(y=6x-6\)：\(x^2+3=6x-6\) より \(x^2-6x+9=0\)、\((x-3)^2=0\) となり \(x=3\) の重解。
どちらも重解になり、その値は接点の \(x\) 座標（\(a=-1,\ 3\)）と一致していますね。
まとめ：接線の方程式
さて、今回のまとめだよ！
曲線 \(y=f(x)\) 上の点 \((a,\ f(a))\) における接線の方程式は
\(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)
接点が分からないときは、接点を \((a,\ f(a))\) と文字でおく。
放物線と接線を連立すると、\(f(x)=g(x)\) は接点の \(x\) 座標を 重解 にもつ。
また一つ賢くなった！
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