今日の板書はこれ！
関数 \(f(x)\) に対し、微分すると \(f(x)\) になる関数 \(F(x)\) を \(f(x)\) の原始関数という。
例えば、\(3x^2\) の原始関数（微分すると \(3x^2\) になる関数）は \(x^3\)、\(x^3+1\)、\(x^3+2\) などがある。原始関数は無数に存在するが、定数部分のみが異なる。
よって、原始関数の1つを \(F(x)\)、定数を \(C\) とすると、原始関数全体は \(F(x)+C\) で表せる。
この原始関数全体を不定積分といい、\(\int f(x)\,dx=F(x)+C\) と表す。
このとき、\(C\) を積分定数、\(f(x)\) を被積分関数、\(x\) を積分変数という。
次の中から、\(2x\) の原始関数であるものを選べ。
① \(2x^2\) ② \(x^2\) ③ \(x^2+x\) ④ \(x^2+4\)
▼ 解答
それぞれを微分して、\(2x\) になるかを調べる。
① \((2x^2)’=4x\) より × ② \((x^2)’=2x\) より ○
③ \((x^2+x)’=2x+1\) より × ④ \((x^2+4)’=2x\) より ○
よって、\(2x\) の原始関数は ② と ④ である。
もっと詳しく願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
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不定積分とは？
今回から「積分」に入るよ。積分は、ひとことで言うと「微分の逆」なんだ。
微分の逆……？ 微分は \(x^2\) を \(2x\) にする計算ですよね。
そう。積分はその反対で、「微分したら \(2x\) になる関数はどれ？」と、元の関数を探す計算だよ。
微分は「関数 → 導関数」の向きの計算でした。
積分はその逆向きで、「導関数 → 元の関数」を求めます。
関数 \(f(x)\) に対して、\(F'(x)=f(x)\) となる関数 \(F(x)\) を、\(f(x)\) の原始関数といいます。
微分の公式に自信がない人は、先にこちらで確認しておこう。
原始関数は1つではない
\(3x^2\) の原始関数を探してみよう。微分して \(3x^2\) になる関数は何かな？
\(x^3\) です！ \((x^3)’=3x^2\) なので。
正解。でも、\(x^3+1\) や \(x^3+2\) を微分するとどうなる？
あっ、定数は微分すると 0 になるから、どれも \(3x^2\) です！
定数を微分すると 0 になるので、\(x^3\) にどんな定数を足しても、微分した結果は \(3x^2\) のままです。
そのため、原始関数は無数にあり、違うのは定数部分だけとなります。
原始関数全体をまとめて表す：不定積分
原始関数の1つを \(F(x)\) とすると、ほかの原始関数は \(F(x)\) に定数を足したものです。
そこで、定数を \(C\) として、原始関数全体を \(F(x)+C\) と1つの式で表します。
この原始関数全体を \(f(x)\) の不定積分といい、次のように書きます。
\(\int f(x)\,dx=F(x)+C\)
\(C\) を積分定数、\(f(x)\) を被積分関数、\(x\) を積分変数といいます。
例えば、\(3x^2\) の不定積分は \(\int 3x^2\,dx=x^3+C\) となります。
「不定」積分という名前は、この \(C\) が1つに定まらないことから来ているんだ。答えに \(C\) を書き忘れると減点されるから注意しよう！
記号の \(\int\) は何て読むんですか？
「インテグラル」と読むよ。\(dx\) は「\(x\) について積分する」という目印なんだ。
例題：原始関数を選ぶ
次の中から、\(2x\) の原始関数であるものを選べ。
① \(2x^2\) ② \(x^2\) ③ \(x^2+x\) ④ \(x^2+4\)
考え方
原始関数は「微分すると \(2x\) になる関数」だったね。だから、選択肢を1つずつ微分して、\(2x\) に戻るかを確かめればいいんだ。
解いてみよう
① は \((2x^2)’=4x\) となるので、\(2x\) の原始関数ではありません。
② は \((x^2)’=2x\) となるので、\(2x\) の原始関数です。
③ は \((x^2+x)’=2x+1\) となり、余分な \(1\) が出てくるので、原始関数ではありません。
④ は \((x^2+4)’=2x\) となるので、\(2x\) の原始関数です。
定数 \(4\) は、微分すると消えてしまうからです。
よって、答えは② と ④となります。
②と④は \(+4\) だけ違う……。さっきの「定数部分だけが違う」ってこれですね！
その通り！③ の \(+x\) は定数ではないから、微分しても消えないんだ。足しても微分の結果が変わらないのは、定数だけなんだよ。
練習問題
同じように、選択肢を1つずつ微分して確かめてみよう。
次の中から、\(3x^2\) の原始関数であるものを選べ。
① \(6x\) ② \(x^3\) ③ \(x^3+2x\) ④ \(x^3-4\)
答えを見る
それぞれを微分して、\(3x^2\) になるかを調べる。
① \((6x)’=6\) より × ② \((x^3)’=3x^2\) より ○
③ \((x^3+2x)’=3x^2+2\) より × ④ \((x^3-4)’=3x^2\) より ○
よって、\(3x^2\) の原始関数は ② と ④ である。
まとめ：不定積分
さて、今回のまとめだよ！
① 微分すると \(f(x)\) になる関数 \(F(x)\) を、\(f(x)\) の原始関数という。
② 原始関数は無数にあるが、違うのは定数部分だけである。
③ 原始関数全体を不定積分といい、\(\int f(x)\,dx=F(x)+C\)（\(C\) は積分定数）と表す。
④ 原始関数かどうかは、微分して \(f(x)\) に戻るかで確かめる。
また一つ賢くなった！
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