【数学Ⅱ】微分10：3次方程式の実数解の個数（定数分離）

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

定数分離とは？

方程式 \(x^3+3x^2-a=0\) は、\(a\) を右辺に移すと \(x^3+3x^2=a\) と変形できます。

この方程式の実数解は、\(y=x^3+3x^2\) のグラフと直線 \(y=a\) の共有点の x 座標です。

つまり、実数解の個数は、共有点の個数です。

分離すると何がうれしい？

直線 \(y=a\) は x 軸に平行な直線です。

\(a\) の値が変わっても、この直線は上下に平行移動するだけなので、グラフは1回かくだけで済みます。

あとは直線を上下に動かして、共有点を数えればよいのです。

例題：定数分離で実数解の個数を考える

考え方

\(x^3+3x^2-a=0\) を変形すると \(x^3+3x^2=a\) となるので、この方程式の実数解の個数は、\(y=x^3+3x^2\) と \(y=a\) のグラフの共有点の個数と等しくなります。

増減を調べてグラフをかく

\(y=x^3+3x^2\) を微分すると \(y’=3x^2+6x=3x(x+2)\) となるので、\(y’=0\) とすると \(x=-2,\ 0\) となります。

増減表は次のようになります。

極大値は 4（\(x=-2\) のとき）、極小値は 0（\(x=0\) のとき）です。

この値をもとに、\(y=x^3+3x^2\) のグラフの概形をかくと、次のようになります。

直線 y=a を上下に動かして共有点を数える

直線が極大値 4 より上にあるときは、グラフの右側と1点で交わるので、共有点は1個です。

直線が \(y=4\) まで下がると、山の頂上で接するので、共有点は2個となります。

直線が \(y=4\) と \(y=0\) の間にあるときは、山と谷をまたいで交わるので、共有点は3個となります。

直線が \(y=0\) まで下がると、谷の底で接するので、共有点は2個となります。

直線が 0 より下にあるときは、グラフの左側と1点で交わるので、共有点は1個です。

よって、異なる3つの実数解をもつような \(a\) の値の範囲は \(0<a<4\) です。

練習問題

答えを見る

\(2x^3-3x^2=a\) と変形できるので、\(y=2x^3-3x^2\) と直線 \(y=a\) の共有点の個数を調べる。

\(y’=6x^2-6x=6x(x-1)\) より、\(y’=0\) とすると \(x=0,\ 1\) となる。増減表は次のようになる。

x	⋯	0	⋯	1	⋯
y’	+	0	−	0	+
y	↗	0	↘	−1	↗

極大値は 0（\(x=0\) のとき）、極小値は -1（\(x=1\) のとき）である。この値をもとにグラフをかき、直線 \(y=a\) を上下に動かす。

共有点がただ1個となるのは、直線が山の頂上より上にあるとき、または谷の底より下にあるときである。

よって、求める \(a\) の値の範囲は \(a<-1,\ 0<a\) である。

まとめ：3次方程式の実数解の個数（定数分離）