【数学Ⅱ】微分11：不等式が常に成り立つ条件（微分の利用）

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

不等式が常に成り立つとは？

\(g(x)>h(x)\) は、右辺を左辺に移すと \(g(x)-h(x)>0\) と書きかえられます。

そこで \(f(x)=g(x)-h(x)\) とおくと、「常に \(g(x)>h(x)\)」は 「常に \(f(x)>0\)」 と同じ意味になります。

グラフで見ると「x 軸より上にある」ということ

グラフ全体が x 軸より上にあるかどうかは、グラフのいちばん低いところを見れば分かります。

いちばん低いところ、つまり 最小値が 0 より大きければ、ほかのすべての点も 0 より大きいからです。

こうして、不等式の証明は「\(f(x)\) の最小値を求める問題」に変わります。

例題：微分を使って不等式を証明する

差をとって f(x) とおく

\(x^3+4\geq 3x^2\) の右辺を左辺に移すと、\(x^3-3x^2+4\geq 0\) となります。

そこで \(f(x)=x^3-3x^2+4\) とおき、\(x\geq 0\) で \(f(x)\geq 0\) となることを示します。

増減表を作って最小値を求める

\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\) となるので、\(f'(x)=0\) とすると \(x=0,\ 2\) となります。

\(x\geq 0\) の範囲で増減表を作ると、次のようになります。

\(f(0)=4\)、\(f(2)=8-12+4=0\) となるので、\(f(x)\) は \(x=2\) のとき 最小値 0 をとります。

結論を書く

\(x\geq 0\) における最小値が 0 なので、\(f(x)\geq 0\) となります。

よって、\(x\geq 0\) のとき \(x^3+4\geq 3x^2\) が成り立ちます。

等号が成り立つのは、最小値をとる \(x=2\) のときです。

「x≧0 のとき」という条件の意味

\(f(-2)=-8-12+4=-16\) となるので、\(x=-2\) では \(f(x)\) が負になります。

3次関数のグラフは左側で下に下がっていくので、考える範囲を \(x\geq 0\) にしぼることが大切です。

増減表も、問題で指定された範囲だけで作ります。

練習問題

答えを見る

\(f(x)=x^3+3x^2-9x+5\) とおき、\(x\geq 0\) で \(f(x)\geq 0\) となることを示す。

\(f'(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)\) より、\(x\geq 0\) の範囲で \(f'(x)=0\) とすると \(x=1\) となる。増減表は次のようになる。

x	0	⋯	1	⋯
f'(x)		−	0	+
f(x)	5	↘	0	↗

\(f(1)=1+3-9+5=0\) より、\(x\geq 0\) において \(f(x)\) は \(x=1\) で 最小値 0 をとる。

よって \(f(x)\geq 0\) より、\(x\geq 0\) のとき \(x^3+3x^2+5\geq 9x\) が成り立つ。等号が成り立つのは \(x=1\) のときである。

まとめ：不等式が常に成り立つ条件（微分の利用）