【高校数学Ⅱ】「指数関数と対数関数」まとめページ｜定義・公式を分かりやすく完全解説

\(a\neq0\)、\(n\) を正の整数とするとき、\(a^0=1\)、\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) と決める。

すると指数法則 \(a^m a^n=a^{m+n}\)、\(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)、\((a^m)^n=a^{mn}\) が、指数が整数でも成り立つ。

負の指数が出てきたら、最後に \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) で分数に直せばよい。

\(x^n=a\) を満たす実数 \(x\) ＝ \(a\) の \(n\) 乗根（まとめて累乗根という）

正のものが \(\sqrt[n]{a}\)、負のものが \(-\sqrt[n]{a}\)

\(n\) が奇数 → \(\sqrt[n]{a}\) の1個だけ／\(n\) が偶数 → \(\pm\sqrt[n]{a}\) の2個

計算のコツ：\(\sqrt[n]{a^n}=a\)（中身を \(n\) 乗の形にそろえて√をはずす）

累乗根の計算は5つの性質が土台（a, b は正、m・n・p は正の整数）。

[1] \(\sqrt[n]{a^n}=a\)　[2] \(\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)、\(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)

[3] \((\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}\)　[4] \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)　[5] \(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[np]{a^{mp}}\)

計算のコツは 中身をまとめる → 指数を約分する。

・有理数（分数）の指数：\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)（\(a>0\)）

・マイナスの指数は逆数：\(a^{-r}=\frac{1}{a^r}\)

・指数法則（\(r,s\) が有理数）：かけ算は指数をたし算、わり算はひき算、累乗はかけ算

・計算のコツ：底を素因数に分解して指数をそろえる

\(a>0,\ a\neq1\) のとき \(y=a^x\) は \(a\) を底とする指数関数。

① 定義域は実数全体、値域は \(y>0\)。

② \(a>1\) で単調増加、\(0<a<1\) で単調減少。

③ 必ず点 \((0,\ 1)\) を通り、\(x\) 軸が漸近線。

① 累乗根は 分数の指数 に直し、底をそろえる。

② 底 \(a>1\) なら、指数の大小がそのまま値の大小 になる。

③ 底 \(0<a<1\) なら、大小が逆転する（指数が大きいほど値は小さい）。

① 両辺の底をそろえられるときは、底をそろえて指数だけを比べる。\(a^x=a^P \Leftrightarrow x=P\)。

② 底をそろえられないときは、\(a^x=X\ (X>0)\) とおきかえて2次方程式にする。

おきかえたら \(X>0\) の条件を確認し、最後に \(X=a^x\) に戻して \(x\) を求める。

① 底をそろえる型

両辺の底をそろえ、指数部分の大小を比べる。底が1より小さいと不等号の向きが逆転する。

② 置き換える型

\(a^x=X\ (X>0)\) とおいて2次不等式にする。\(X>0\) の範囲を必ず確認してから \(x\) に戻す。

\(a>0,\ a\neq 1,\ M>0\) のとき \(a^p=M \Leftrightarrow p=\log_a M\)

\(\log_a M\) は \(a\) が底、\(M\) が真数。値は「\(a\) を何乗すると \(M\) になるか」。

値を求めるコツ：真数を「底の◯乗」に直すと、その指数が答え。

積・商・累乗の3つの性質で、対数の計算はすべてこなせます。

【1】\(\log_a MN=\log_a M+\log_a N\)（積 → 和）

【2】\(\log_a \frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N\)（商 → 差）

【3】\(\log_a M^{k}=k\log_a M\)（累乗 → 前に出す）

どれも指数法則を対数で言いかえたものです。

ちがう底の対数を、共通の底にそろえて計算するための公式です。

\(\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}\)（真数が分子、もとの底が分母）

コツは底を素数にそろえて、対数の性質で「合体」または「分解」することです。

指数関数 \(y=a^x\) の逆関数で、グラフは直線 \(y=x\) について対称になります。

定義域は正の数、値域は実数全体。必ず点 \((1,\ 0)\) を通り、\(y\) 軸が漸近線です。

底が1より大きいと右上がり、1より小さいと右下がり。底が逆数どうしのグラフは \(x\) 軸について対称です。

手順は、①底をそろえる → ②係数は指数に入れて真数を1つに → ③真数の大小で比べる。

底が \(1\) より大きいとき　真数が大きいほど対数も大きい（そのままの大小）。

底が \(1\) より小さいとき　真数が大きいほど対数は小さい（大小が逆転）。

解く手順は、①真数条件（真数は正）と底の条件を確認 → ②底をそろえる → ③1つの対数にまとめて真数を比べる。

両辺が同じ底の対数1つになれば \(\log_{a}X=\log_{a}Y \iff X=Y\) で真数どうしを比べられる。

最後に、求めた解が 真数条件の範囲に入っているか を必ず確認する。

手順は方程式と同じで、①真数条件と底の条件を確認 → ②底をそろえる → ③1つの対数にまとめて真数を比べる。

ただし底が1より小さい（\(0<a<1\)）ときは、logを外すと不等号の向きが逆になるのが最大の注意点。

\(a>1\) なら \(\log_{a}X>\log_{a}Y \iff X>Y\)、\(0<a<1\) なら \(\log_{a}X>\log_{a}Y \iff X<Y\)。

① \(\log_a x=t\) とおいて、log を含む関数を \(t\) の2次関数にする。

② 置きかえたら t のとりうる範囲を必ず求める（\(x\) の定義域 → \(t\) の範囲）。

③ 平方完成して頂点と端点で最大・最小を判定し、最後に \(t\) を \(x\) にもどす。

\(10\) を底とする対数 \(\log_{10}N\) を 常用対数 という。

\(10^k \leq N < 10^{k+1}\) を満たすとき \(N\) は \((k+1)\) 桁。

大きな数の桁数は、まず 常用対数をとって「10の何乗か」を調べれば求められる。

\(10\) を底とする対数 \(\log_{10}N\) を 常用対数 という。

\(10^{-k}\leq N<10^{-k+1}\) を満たすとき、\(N\) の小数首位は 小数第 \(k\) 位。

とても小さい数の小数首位は、まず 常用対数をとって「\(10\) の何乗か」を調べれば求められる。桁数のときと考え方はまったく同じ。

常用対数表は \(1.00\)〜\(9.99\) の常用対数を小数第4位まで一覧にしたもの。左の「数」で上2桁、上端で次の桁を選び、交点を読む。

どんな正の数も \(N=a\times10^{n}\)（\(1\leq a<10\)）にすれば \(\log_{10}N=\log_{10}a+n\)。表で読むのは \(\log_{10}a\) だけでよい。

大きい数は \(n\) が正、\(0\) に近い小さい小数は \(n\) が負になる。