【高校数学Ⅱ】「指数関数と対数関数」まとめページ｜定義・公式を分かりやすく完全解説

\(a\neq0\)、\(n\) を正の整数とするとき、\(a^0=1\)、\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) と決める。

すると指数法則 \(a^m a^n=a^{m+n}\)、\(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)、\((a^m)^n=a^{mn}\) が、指数が整数でも成り立つ。

負の指数が出てきたら、最後に \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) で分数に直せばよい。

\(x^n=a\) を満たす実数 \(x\) ＝ \(a\) の \(n\) 乗根（まとめて累乗根という）

正のものが \(\sqrt[n]{a}\)、負のものが \(-\sqrt[n]{a}\)

\(n\) が奇数 → \(\sqrt[n]{a}\) の1個だけ／\(n\) が偶数 → \(\pm\sqrt[n]{a}\) の2個

計算のコツ：\(\sqrt[n]{a^n}=a\)（中身を \(n\) 乗の形にそろえて√をはずす）

累乗根の計算は5つの性質が土台（a, b は正、m・n・p は正の整数）。

[1] \(\sqrt[n]{a^n}=a\)　[2] \(\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)、\(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)

[3] \((\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}\)　[4] \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)　[5] \(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[np]{a^{mp}}\)

計算のコツは 中身をまとめる → 指数を約分する。

・有理数（分数）の指数：\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)（\(a>0\)）

・マイナスの指数は逆数：\(a^{-r}=\frac{1}{a^r}\)

・指数法則（\(r,s\) が有理数）：かけ算は指数をたし算、わり算はひき算、累乗はかけ算

・計算のコツ：底を素因数に分解して指数をそろえる

\(a>0,\ a\neq1\) のとき \(y=a^x\) は \(a\) を底とする指数関数。

① 定義域は実数全体、値域は \(y>0\)。

② \(a>1\) で単調増加、\(0<a<1\) で単調減少。

③ 必ず点 \((0,\ 1)\) を通り、\(x\) 軸が漸近線。

① 累乗根は 分数の指数 に直し、底をそろえる。

② 底 \(a>1\) なら、指数の大小がそのまま値の大小 になる。

③ 底 \(0<a<1\) なら、大小が逆転する（指数が大きいほど値は小さい）。

① 両辺の底をそろえられるときは、底をそろえて指数だけを比べる。\(a^x=a^P \Leftrightarrow x=P\)。

② 底をそろえられないときは、\(a^x=X\ (X>0)\) とおきかえて2次方程式にする。

おきかえたら \(X>0\) の条件を確認し、最後に \(X=a^x\) に戻して \(x\) を求める。

① 底をそろえる型

両辺の底をそろえ、指数部分の大小を比べる。底が1より小さいと不等号の向きが逆転する。

② 置き換える型

\(a^x=X\ (X>0)\) とおいて2次不等式にする。\(X>0\) の範囲を必ず確認してから \(x\) に戻す。

\(a>0,\ a\neq 1,\ M>0\) のとき \(a^p=M \Leftrightarrow p=\log_a M\)

\(\log_a M\) は \(a\) が底、\(M\) が真数。値は「\(a\) を何乗すると \(M\) になるか」。

値を求めるコツ：真数を「底の◯乗」に直すと、その指数が答え。

積・商・累乗の3つの性質で、対数の計算はすべてこなせます。

【1】\(\log_a MN=\log_a M+\log_a N\)（積 → 和）

【2】\(\log_a \frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N\)（商 → 差）

【3】\(\log_a M^{k}=k\log_a M\)（累乗 → 前に出す）

どれも指数法則を対数で言いかえたものです。