今日の板書はこれ！
\(n\) を正の整数とする。
\(n\) 乗すると実数 \(a\) になる実数、つまり \(x^n=a\) を満たす実数 \(x\) を \(a\) の \(n\) 乗根 という。
正のものを \(\sqrt[n]{a}\)（「\(n\) 乗根 \(a\)」と読む）、負のものを \(-\sqrt[n]{a}\) と表す。
\(a\) の2乗根（平方根）・3乗根（立方根）・4乗根・…をまとめて \(a\) の累乗根 という。
※ \(\sqrt[2]{a}=\sqrt{a}\)、\(\sqrt[n]{0}=0\)
次の値を求めよ。
(1) 8の3乗根
(2) 81の4乗根
▼ 解答
(1) 3乗して8になる実数（\(x^3=8\) を満たす実数 \(x\)）
\(\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2\)
(2) 4乗して81になる実数（\(x^4=81\) を満たす実数 \(x\)）
\(\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^4}=3\) \(-\sqrt[4]{81}=-\sqrt[4]{3^4}=-3\)
※ \(\sqrt[4]{81}=\pm 3\) ではないので注意
\(\sqrt[n]{a^n}=a\)…中身がそろったら√をはずせる、と覚えてOK（\(a>0\)）
もっと詳しく願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。
「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。
でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。
意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！
「8の3乗根」を求めてみよう
例えば、こんな問題を考えてみよう。
次の値を求めよ。
(1) 8の3乗根
(2) 81の4乗根
「3乗根」…？平方根なら聞いたことありますけど、初めて見る言葉です…。
実は平方根の仲間なんだ。ポイントになる知識を、順番に見ていこう。
解くために必要な3つの知識
① n乗根の定義：「n乗するとaになる数」
まずは、よく知っている平方根から考えてみよう。
例えば「2乗すると9になる数」を考えると、\(3^2=9\)、\((-3)^2=9\) なので、\(3\) と \(-3\) の2つが見つかります。
この2つが \(9\) の平方根 でした。
これと同じことを、2乗ではなく \(n\) 乗で考えたものが \(n\) 乗根 です。
つまり、\(n\) 乗すると \(a\) になる実数、式で書くと \(x^n=a\) を満たす実数 \(x\) のことを「\(a\) の \(n\) 乗根」といいます。
そして、2乗根（平方根）・3乗根（立方根）・4乗根・…をすべてまとめて 累乗根 と呼びます。
② 記号の書き方・読み方
\(a\) の \(n\) 乗根のうち、正のものを \(\sqrt[n]{a}\) と書き、「\(n\) 乗根 \(a\)」と読みます。
負のものは \(-\sqrt[n]{a}\) と表します。
普段使っている \(\sqrt{a}\) は、実は \(\sqrt[2]{a}\) の「2」を省略した書き方です。
また、\(\sqrt[n]{0}=0\) です。
③ 注意：nが奇数か偶数かで、個数が変わる
\(n\) が奇数のとき、\(a\) の \(n\) 乗根は \(\sqrt[n]{a}\) の1個だけ です。
例えば「8の3乗根」の候補に \(-2\) を入れてみると、\((-2)^3=-8\) となって8になりません。
\(n\) が偶数のとき、正の数 \(a\) の \(n\) 乗根は \(\sqrt[n]{a}\) と \(-\sqrt[n]{a}\) の2個 あります。
9の平方根が \(3\) と \(-3\) の2つあったのと同じです。
実際に解いてみよう
じゃあ、その知識を使って解いていくよ。計算のコツは「中身を \(n\) 乗の形にそろえる」ことなんだ。
次の値を求めよ。
(1) 8の3乗根
(2) 81の4乗根
(1) 8の3乗根は、3乗すると8になる実数、つまり \(x^3=8\) を満たす実数 \(x\) です。
ここで \(8=2^3\) と3乗の形にそろえると、\(\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}\) となり、√がはずせて \(\sqrt[3]{8}=2\) と求められます。
3は奇数なので、答えは \(2\) の1個だけ です。
(2) 81の4乗根は、\(x^4=81\) を満たす実数 \(x\) です。
\(81=3^4\) と4乗の形にそろえると \(\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^4}=3\)。
4は偶数なので \(n\) 乗根は2個あり、答えは \(3\) と \(-3\) です。
ここで1つ注意です。
\(\sqrt[4]{81}=\pm 3\) と書くのは誤り です。
記号 \(\sqrt[4]{81}\) は「正の方」だけを表す約束なので、\(\sqrt[4]{81}=3\)、負の方は \(-\sqrt[4]{81}=-3\) と書き分けます。
中身を \(n\) 乗の形にそろえたら、√がはずせるんですね！
その通り！\(\sqrt[n]{a^n}=a\)（\(a>0\)）の形で覚えておくと計算がラクだよ。
練習問題
次の値を求めよ。
(1) \(\sqrt[3]{64}\)
(2) \(\sqrt[3]{1}\)
(3) \(\sqrt[4]{\frac{1}{16}}\)
ヒントを見る
中身を \(n\) 乗の形にそろえよう。
\(64=4^3\)、\(1=1^3\)、\(\frac{1}{16}=\left(\frac{1}{2}\right)^4\)
答えを見る
(1) \(\sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{4^3}=4\)
(2) \(\sqrt[3]{1}=\sqrt[3]{1^3}=1\)
(3) \(\sqrt[4]{\frac{1}{16}}=\sqrt[4]{\left(\frac{1}{2}\right)^4}=\frac{1}{2}\)
まとめ：累乗根の定義
さて、今回のまとめだよ！
\(x^n=a\) を満たす実数 \(x\) ＝ \(a\) の \(n\) 乗根（まとめて累乗根という）
正のものが \(\sqrt[n]{a}\)、負のものが \(-\sqrt[n]{a}\)
\(n\) が奇数 → \(\sqrt[n]{a}\) の1個だけ／\(n\) が偶数 → \(\pm\sqrt[n]{a}\) の2個
計算のコツ：\(\sqrt[n]{a^n}=a\)（中身を \(n\) 乗の形にそろえて√をはずす）
また一つ賢くなった！
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