【数学B】統計的な推測04：母比率と標本比率

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

当たりくじの割合の誤差が0.01以下になる確率は？

母比率と標本比率とは？

母集団の中で、ある特性Aをもつ要素の割合を、特性Aの母比率といいます。

つまり、母比率とは母集団の中で特性Aをもつ要素の割合のことです。

同じように、標本の中で特性Aをもつ要素の割合を、特性Aの標本比率といいます。

つまり、標本比率とは標本の中で特性Aをもつ要素の割合のことです。

例題1では、100万本のくじ全体が母集団で、「当たりくじである」が特性Aです。

くじ全体の当たりの割合は　\(\frac{100000}{1000000}=\frac{1}{10}\)　なので、母比率は　\(\color{#8E44AD}{p}=\color{#8E44AD}{\frac{1}{10}}\)　です。

一方、引いた900本が標本で、その中の当たりの割合が標本比率 \(R\) です。

たとえば900本の中に当たりが99本あれば、　\(R=\frac{99}{900}=0.11\)　となります。

標本比率 \(R\) は、くじを引き直すたびに値が変わる確率変数です。

そして、母比率は \(\frac{1}{10}\) なので、\(P\left(\left|R-\frac{1}{10}\right|\leq 0.01\right)\) は、標本比率と母比率の誤差が0.01以下におさまる確率を表しています。

標本比率の分布とは？

正規分布は、平均と標準偏差が決まれば形が1つに決まります。

例題1のくじで、標本比率 \(R\) の平均と標準偏差を求めてみましょう。

平均は母比率と同じで、　\(E(R)=\color{#8E44AD}{\frac{1}{10}}\)　となります。

標準偏差は、母比率 \(\color{#8E44AD}{p}=\frac{1}{10}\) と標本の大きさ \(n=900\) を使って、次のように求めます。

\(\sigma(R)=\sqrt{\frac{\frac{1}{10}\left(1-\frac{1}{10}\right)}{900}}=\color{#F39800}{\frac{1}{100}}\)

900は十分大きいので、例題1の標本比率 \(R\) は近似的に正規分布 \(N\left(\color{#8E44AD}{\frac{1}{10}},\ \left(\color{#F39800}{\frac{1}{100}}\right)^2\right)\) に従います。

これを文字の式にまとめると、次のようになります。

母比率 \(\color{#8E44AD}{p}\) の母集団から大きさ \(n\) の無作為標本を抽出するとき、\(n\) が十分大きければ、標本比率 \(R\) は近似的に正規分布

\(N\left(\color{#8E44AD}{p},\ \frac{\color{#8E44AD}{p}(1-\color{#8E44AD}{p})}{n}\right)\)

に従います。

標準化して確率を求めよう

標本比率が従う分布を求める

母比率は \(\color{#8E44AD}{p}=\color{#8E44AD}{\frac{1}{10}}\)、標本の大きさは \(n=900\) です。

標本比率の標準偏差は、　\(\sigma(R)=\sqrt{\frac{\frac{1}{10}\left(1-\frac{1}{10}\right)}{900}}=\color{#F39800}{\frac{1}{100}}\)　となります。

900は十分大きいので、標本比率 \(R\) は近似的に正規分布 \(N\left(\color{#8E44AD}{\frac{1}{10}},\ \left(\color{#F39800}{\frac{1}{100}}\right)^2\right)\) に従います。

標準化する

正規分布表を使うために、平均 1/10 を引いて、標準偏差 1/100 で割ります。

\(Z=\frac{R-\color{#8E44AD}{\frac{1}{10}}}{\color{#F39800}{\frac{1}{100}}}\)

とおくと、\(Z\) は近似的に標準正規分布 \(N(0,\ 1)\) に従います。

\(\left|R-\frac{1}{10}\right|\leq 0.01\) は、\(R\) が \(\frac{1}{10}-0.01\) 以上 \(\frac{1}{10}+0.01\) 以下ということなので、\(0.09\leq R\leq 0.11\) です。

\(R=0.09\) のとき、　\(Z=\frac{0.09-0.1}{0.01}=\color{#EE4656}{-1}\)

\(R=0.11\) のとき、　\(Z=\frac{0.11-0.1}{0.01}=\color{#EE4656}{1}\)

なので、\(P\left(\left|R-\frac{1}{10}\right|\leq 0.01\right)=P(-1\leq Z\leq 1)\) です。

正規分布表で確率を求める

正規分布表で \(u=1.00\) の値を読むと、\(p(1)=0.3413\) です。

\(p(1)\) は \(0\leq Z\leq 1\) の確率で、標準正規分布は左右対称なので、\(-1\leq Z\leq 0\) の確率も \(p(1)\) です。

\(P(-1\leq Z\leq 1)=2p(1)=2\times 0.3413\color{#EE4656}{=0.6826}\)

となります。

練習問題

答えを見る

(1)

母比率は \(\color{#8E44AD}{p}=\color{#8E44AD}{0.1}\)、標本の大きさは \(n=100\) であるから、

\(\sigma(R)=\sqrt{\frac{0.1\times 0.9}{100}}=\color{#F39800}{0.03}\)

100は十分大きいから、\(R\) は近似的に正規分布 \(N(\color{#8E44AD}{0.1},\ \color{#F39800}{0.03}^2)\)に従う。

(2)

\(Z=\frac{R-\color{#8E44AD}{0.1}}{\color{#F39800}{0.03}}\) とおくと、\(Z\) は近似的に標準正規分布 \(N(0,\ 1)\) に従う。

\(R=0.07\) のとき \(Z=\frac{0.07-0.1}{0.03}=\color{#EE4656}{-1}\)

\(R=0.13\) のとき \(Z=\frac{0.13-0.1}{0.03}=\color{#EE4656}{1}\)

したがって、

\(\begin{aligned}P(0.07\leq R\leq 0.13)&=P(\color{#EE4656}{-1}\leq Z\leq \color{#EE4656}{1})\\[8pt]&=2p(1)=2\times 0.3413\color{#EE4656}{=0.6826}\end{aligned}\)

答えを見る

表の出る相対度数 \(R\) は、「表が出る」という特性の標本比率と考えられ、母比率は \(\color{#8E44AD}{p}=\color{#8E44AD}{\frac{1}{2}}\) である。

\(n\) は十分大きいから、\(R\) は近似的に正規分布 \(N\left(\color{#8E44AD}{\frac{1}{2}},\ \frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}{n}\right)\) に従う。

(1)

\(\sigma(R)=\sqrt{\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}{100}}=\color{#F39800}{\frac{1}{20}}\)

\(Z=\frac{R-\color{#8E44AD}{\frac{1}{2}}}{\color{#F39800}{\frac{1}{20}}}\) とおくと、\(\left|R-\frac{1}{2}\right|\leq 0.05\) は \(|Z|\leq 0.05\div \frac{1}{20}=\color{#EE4656}{1}\) となるから、

\(\begin{aligned}P\left(\left|R-\frac{1}{2}\right|\leq 0.05\right)&=P(|Z|\leq \color{#EE4656}{1})\\[8pt]&=2p(1)=2\times 0.3413\color{#EE4656}{=0.6826}\end{aligned}\)

(2)

\(\sigma(R)=\sqrt{\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}{400}}=\color{#F39800}{\frac{1}{40}}\)

\(Z=\frac{R-\color{#8E44AD}{\frac{1}{2}}}{\color{#F39800}{\frac{1}{40}}}\) とおくと、\(\left|R-\frac{1}{2}\right|\leq 0.05\) は \(|Z|\leq 0.05\div \frac{1}{40}=\color{#EE4656}{2}\) となるから、

\(\begin{aligned}P\left(\left|R-\frac{1}{2}\right|\leq 0.05\right)&=P(|Z|\leq \color{#EE4656}{2})\\[8pt]&=2p(2)=2\times 0.4772\color{#EE4656}{=0.9544}\end{aligned}\)

(3)

\(\sigma(R)=\sqrt{\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}{900}}=\color{#F39800}{\frac{1}{60}}\)

\(Z=\frac{R-\color{#8E44AD}{\frac{1}{2}}}{\color{#F39800}{\frac{1}{60}}}\) とおくと、\(\left|R-\frac{1}{2}\right|\leq 0.05\) は \(|Z|\leq 0.05\div \frac{1}{60}=\color{#EE4656}{3}\) となるから、

\(\begin{aligned}P\left(\left|R-\frac{1}{2}\right|\leq 0.05\right)&=P(|Z|\leq \color{#EE4656}{3})\\[8pt]&=2p(3)=2\times 0.49865\color{#EE4656}{=0.9973}\end{aligned}\)

まとめ：母比率と標本比率